巧用变量代换解题.pdf

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1、年增刊中学数学教学巧用变量代换解题224)00安徽安庆市第七中学方精忠邮编。变:量代换是我们在解题中常用的手段合理的变问题,,,:,,,量代换常使间题变得清晰明了便于思考便于运算已知一:。<二l《K。。争头号州起到化繁为简的作用以下从几个方面举例说明之:。.求证至三一11证明代数恒等式令淤aeb一C“、:一b一已xy1一证这里知式与待证式显然是关于对称例试证丁甲-丁十丁六一r一十ac召OesOC1十1十l卜,。x”yacca的故只要证明就可以了由已知式得到(一b)(b一)(一)Z2,aac。x(1一夕)+夕(l一忿)=少(1一少)(1十b)(1十

2、cb)(1十)、2,。,化简整理得(x一刃~o即x=y分析观察式中左右两方可发现明显的特征右,,,xyyx式恰为左式三项之积这使人联想到公式gtA+gtB十以替代同时以替代就可使已知式变为,.··,。十一,tgC~tgAtgBtgC(A+B+C=K沉K任Z)子号任故命题获证a岁a,,e,一b~tg八吞~tg召二tge证设则a.31+b证明条件等式c。a,aea,s。b一C召3tg一tg(,一)osZ+inz一,,一。例设夕二Ztg(A一B)“tg(B一C)`tg(C一A)cca1+b1十a,as,s,a,=0(二一)eoZ夕+inZ月一a二0(。

3、尹0护0):(乙A一乙B)+(乙B一乙C)+(乙C一乙A)=0。:aZ2nZa求证(z一)二+一Z,二o,=K井(K=0),.分析条件为三角式而结论是代数式从已知条·`·tg(A一B)+tg(B一C)+tg(C一A)。,件想得到求证的等式似乎很困难简直无从下手但若··,=tg(A一B)tg(B一C)tg(C一A)、,a、,tg看到条件式中有二倍角的正弦余弦有gt夕时..。”accaacca一bb一一(一6)(b一)(一),。.~J一-一一一川丁产下州丁了尸下十了厂一=。应想到万能置换则问题迎刃而解~acace“0OC口Cb)(l十bl卜1寸I-t

4、(l+)(1十),.证明由万能公式2证明三角恒等式条件式可化为,n。a,,:,:mtgt一Ztgt+2一二二o(t二夕)于是例:已知十一1求证夕十c啤0s一户s禁ln一P嘿Cos一a衅sln一atga、tg尹为方程。二,一2,x+Za一。=o之二根。,·,tg+tg一tgtg由韦达定理得,二,-分析该题若直接利用三角公式来证明比较麻弩。。5,a,eosZ,。,a,s。。,0~x月=)则in~1一xin~一一2两边平方烦可令,将gat、得,,。1一,而且。

5、2+`0+一,,、````)一音:一譬粤譬夸臀粤孟·.砂。05。。·’2二3二一+(+)〕丫下s,s,s,n’弩粤二nn一下万万百一(:+2·o·+2·o·,一,。一上述其它等式均较易证明在此从略合誓譬弩.3猜想S。。8·5.。++0一,譬弩譬根据上述一类特殊的等式是否存在-厅2打n万l而.’`一臀一弩一譬一譬一弩`J少c0scoscos=一于乏不丙云不1丽不了丁sn:``__、_!一一一汀2汀n兀号号sn’亚三I一誓誓(2)i”sm.获干Isln丽花云不I285`n些8·`n兀2厅n布号号tan’`’斌石石(3)tt~乏砰Ian乏石五an石干i

6、中学数学教学年增刊·.。,a“a“aa:r,:;八一(tg一tg夕)一(tg+tg刀)一4tgtg夕而gt一h:h一2创厂了n2a4s一4阴,7·求函数最值问题二一m,丽a22n`a。例7已知f(一tgx)+Zf(tgx)~sinx化简即得(l一)0+一Z、=o,x任(一`二./2/2)①4证明代数不等式,,xx)取得最大?当x。当为何值时f(为何值时f(x)a`,a`2c,值例4已知+占+一z证明+占+)z/3?“”,取得最小值分析直接证明似乎是山穷水尽疑无路如果。sxnZx。)的i-“”分析先寻求f(表达式考虑到利用变量代换则柳暗花明又一村,

7、.,。,,,我们可以用变量代换的方法来解决例如令证明设十。一十口一+,一含含音瓮橇“,x=a。,a。gt如此已知条件式的左端将出现f(一的+’,.十b+二1⋯十夕+)~O,。,a,,。2。222Zf(u)要解出f(u)有困难回到已知条件式仔细观+。+二(+)+(+,)+(+,)一`-一、今3’一`’“冬3’r’、冬3察,可以发现一个特征:gtx与isnZz都是奇函数,于是...,、.,.,、,0,。,,,12。aa``乙可解二令+’于(、-+·刀.+·y),十.(+夕+y)33,已知条x一xaZ22。解在件式中将换成得二+(+口+,)多粤粤sn,

8、’、’一’tgxtgxx`(一)+zf(一)二iZ(一)3一3f[一〕[」.5Zf(一tgx)+f(tgx)=一sinZx解代数不等式即