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1、数学分析考研辅导讲义第十章-255-第十章曲线积分、格林公式一、内容概要（一）概念与性质对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分1.定义设f(xy,)在曲线L上连续，定义设L是xOy平面内从点A到点B的L是分段光滑的，将L任意分成n个小弧一条有向光滑曲线（或逐段光滑）.函数段，第i个小弧段的长度为P(xy,)，Q(xy,)在L上连续，在L上自ADsi(in=1,2,,L)，至B任意依序插入n-1个分点在第i个小弧段上任取一点(xhii,)，作和M1(xy11,)，L，Mn-1(xynn--11,)，n¼式åfs(xhi,ii)×D，如
2、把L分成n个有向小弧段MM，ii-1i=1nDx=-xx，Dy=-yyiii-1iii-1lim,åfs(xhiii)×D，ds=Dmax{i}，d®0i=1¼¼表示MM在坐标轴上的投影，在MM上ii-1ii-1存在，则称此极限为f(xy,)在L上对弧长的曲线积分.即任取一点(xhii,)，作和式nnòLf(x,y)ds=Dldim,åfs(xhiii)，åéùëûP(xi,,hi)Dxi+DQy(xhiii)，®0i=1i=1f(xy,)称为被积函数，ds称为弧长元素，若d表示n个小弧段的最大长度，而L称为积分曲线.nlim
3、åéùëûP(xi,,hi)Dxi+DQy(xhiii)d®0类似可以定义f(x,,yz)在空间曲线i=1L上的对弧长的曲线积分存在，则称此极限为函数P(xy,)，Q(xy,)在nL上对坐标的曲线积分.记作òf(x,y,z)ds=Dlimåfs(xi,,hziii).Ld®0Pxydx+Qxydyi=1ò(,,)()L2.基本性质数学分析考研辅导讲义第十章-256-假定下述性质中被积函数都可积.n=limåéùëûP(xi,,hi)Dxi+DQy(xhiii).d®0（1）对弧长的曲线积分与积分路径L方向i=1无关n其中òP(
4、x,y)dx=Dlim,åPx(xhiii)与Ld®0f(x,,y)ds=f(xy)ds，i=1òòLL-L-表示与L方向相反的弧段.nòQ(x,y)dy=Dlim,åQy(xhiii)Ld®0（2）若L=L+LL++L，则i=112mòf(x,y)ds分别称为函数P(xy,)在L上对坐标x的曲线L积分；函数Q(xy,)在L上对坐标y的曲线积=òòf(x,,y)ds++Lf(xy)ds.L1Lm分.（3）òòk×f(x,,y)ds=×kf(xy)ds.类似可定义P(x,,yz)，Q(x,,yz)，LL（4）ò(f(x,,y)±
5、g(xy))dsR(x,,yz)在曲线L上对坐标的曲线积分：L=±òòf(x,,y)dsg(xy)ds.nLLòP(x,y,z)dx=DlimåPx(xi,,hziii)；Ld®03.计算方法i=1nìxt=j()（1）如曲线L：íab££t在òQ(x,y,z)dy=DlimåQy(xhzi,,iii)；yt=y()Ld®0îi=1[ab,]上有连续的一阶偏导，且nòR(x,y,z)dy=DlimåRz(xhzi,,iii).22Ld®0jy¢¢(tt)+¹()0，.i=1uvrr则òf(x,y)ds若记F(x,y)=+P(x
6、,,y)iQ(xyj)Lrrrbdr=+dxidyj，22=òféùëûj()t,y()t×+jy¢¢()t()tdta则òP(x,,y)dx+Q(xy)dyLuvrf(xy,)在L上连续.=×òF(x,y)dr，L（2）如曲线L：yx=j()，a££xb（或而òP(x,y,z)dx+Q(x,,yz)dyLxy=y()，c££yd），则+R(x,,yz)dzuvròf(x,y)ds=×òF(x,,yz)dr，LLuvb其中A(x,,yz)2=òféùëûx,1jj()x×+¢()xdx，rrra=P(x,y,z)i++Q(x,
7、y,z)jR(x,,yzk)rrrr或òf(x,y)dsdr=dxi++dyjdzk.L数学分析考研辅导讲义第十章-257-d2.基本性质2=òféùëûyy()y,1y×+¢()ydy.c假定下述性质中被积函数都可积.（3）类似如空间曲线L：（1）若改变积分路径的方向，则对坐标的曲线积分变号，即ìx=xt()ïíy=yt()ab££t，Pdx+Qdy=-+PdxQdy.òòLL-+ïîz=zt()uvr（2）L=+LL，F(x,y)dr12òL则òf(x,,yz)ds=uvrruvL.=+òòF(x,,y)drF(xy)dr
8、LL12b222òféùëûx()t,,y()tz()t×xt¢++ytt¢¢zdtuvrruva（3）òòk×F(x,,y)dr=×kF(xy)dr.LLuvuvr（4）éùF(x,,y)+G(xy)dròLëûuvrruv=+òòF(x,,y)drG(xy)dr.LL3.
