数学分析讲义

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1、第七章不定积分7.1不定积分7.2分部积分法与换元积分法7.3有理函数的不定积分7.4简单无理函数与三角函数的不定积分7.1不定积分原函数定义：7.1不定积分+c7.1不定积分定理1：注：定理指出，欲求函数的所有原函数，只须求出其中一个原函数，然后再加上一个任意常数即可。7.1不定积分不定积分定义：7.1不定积分注：不定积分与原函数的关系：不定积分是由所以原函数组成的集合，而原函数是不定积分中的一个元素。积分运算:7.1不定积分这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。基本积分公式表:7.1不定积分利用不定积分基本公式计算不定积分例

2、1求例2例3例4例5⑴;⑵例67.2分部积分与换元积分分部积分法分部积分公式是从函数乘积的导数公式反转过来的。7.2分部积分与换元积分7.2分部积分与换元积分例1：例2、例3、7.2分部积分与换元积分例4、例5、7.2分部积分与换元积分例6、例7、7.2分部积分与换元积分换元积分法定理1（第一换元积分法）、7.2分部积分与换元积分7.2分部积分与换元积分常用凑微分形式：7.2分部积分与换元积分例：求下列积分1、2、3、4、5、6、7.2分部积分与换元积分7、8、9、10、11、7.2分部积分与换元积分12、13、14、7.2分部积分与换元积分15、

3、16、17、7.2分部积分与换元积分18、19、20：7.2分部积分与换元积分21：22、7.2分部积分与换元积分定理2（第二替换元积分法）证明：只需证明：7.2分部积分与换元积分在什么情况下应用变量替换法和分部积分法?7.2分部积分与换元积分7.2分部积分与换元积分7.2分部积分与换元积分例2、二种解法（2）被积函数中含一般根式例3、解：令原式7.2分部积分与换元积分例4、令原式例5、解：令原式§7.3有理函数的不定积分代数的预备知识§7.3有理函数的不定积分例如，有理假分式§7.3有理函数的不定积分有理真分式有下面的分项分式定理设⑴式是有理真分

4、式（n

5、将分母的二次三项式用配方法分出一个完全平方式②换元，令代入原积分③套用常用积分公式一般地，凡第二种基本类型的积分都可用上述方法求。§7.3有理函数的不定积分设，有§7.3有理函数的不定积分§7.3有理函数的不定积分应用分部积分法§7.3有理函数的不定积分由此等式解得关于的递推公式逐次应用这个递推公式，最后归结为：例如：k=1k=2以上讨论得到一个重要结果，任何有理函数的不定积分总是能计算出来的。§7.3有理函数的不定积分例：有理函数的不定积分总是可求的，并且原函数是初等函数。§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分简单无理函数的不定积分对无理函数积

6、分如果能够通过适当的代换化为有理函数的积分，那么无理函数的积分问题就解决。无理函数的情况是比较复杂，因此我们只限于讨论简单无理函数的积分。1、形如的不定积分，其中，且是表示由通过有限次四则远算得到的函数§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分①②③②③从形式上看不是，但可以化为这种类型，为了消去被积函数中的根号，作代换，解出x，得§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分2、形如，其中处理方法：将二次三项式配成完全平方，再作变数替换，将分子分成两项，即可化为：和§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分3、形如一

7、般方法——欧拉代换（1）、第一种欧拉代换当无实根时，且，可作换元两端平方后，消去项，得§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分例：1）2)、3)4)§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分（2）第二种欧拉代换§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分三角函数有理式的不定积分1、万能代换设从而有§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分2、若是的奇函数，即或则设⑵对形如，作代换(1)§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分(3)对形如的积分，作代换§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分例.§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分§7.4简单无理函数和三

8、角函数的不定积分4、若被积函数是则应用三角公式（积化和差）例1：§7.4简单无理函数和三角函数的不定积分例2、§7.4简单