数学分析讲义 - 梅加强

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1、数学分析讲义梅加强编著⃝c2006-2010无厚，不可积也，其大千里。

2、惠施，公元前四世纪。前言i前言数学分析的核心内容是微积分。微积分的发展大体上经过了三个阶段。牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）在继承公元15–16世纪以来许多杰出数学家的成果的基础上，将微积分发展成了一门独立的学问，微积分被用来解决天文、力学、工程等方面的大量实际问题。19世纪初，由于科学技术进步的推动，为微积分建立牢固基础的要求十分迫切。经过近二百年的努力，到19世纪五六十年代，柯西（Cauchy）,黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等建立了严格

3、的极限理论，并用极限的语言严格地证明了微积分的所有定义和定理，为微积分的普及创立了更加有利的条件。到20世纪初，格拉斯曼（Grassmann），庞加莱（Poincar´e）和嘉当（Cartan）等人又发展了外微分形式的语言，并利用外微分形式的语言把微分和积分这一对矛盾统一在斯托克斯（Stokes）积分公式中，这就使得牛顿和莱布尼兹的微积分基本公式达到了一个统一的新高度，以后的发展就属于近代数学的范畴了。本书在内容的编排上试图展现微积分发展各阶段的重要成果，并适当地采用现代数学的思想方法和观点处理经典的分析问题。下面对本书主要内容作一简要介绍。由于数学分析是非常

4、成熟的一门基础课程，我们只着重于介绍和传统教材有较大差别的地方。在第一章中我们介绍了集合与映射的一些基本概念。这一章虽然是复习性质的，但我们还是引入了确界和可数这两个重要概念。我们把确界原理作为一元分析的基础，在第二章关于数列极限的论述中这一点显得特别突出。实数的构造以及实数系的基本性质对于一元分析来说是非常重要的，但为了减轻负担，我们将实数构造的理论放在第一章附录中了。第三章研究连续函数。和传统教材不同的是，我们在这里就已经介绍了连续函数的积分了。这样，在第四章中，我们就很快得到了微积分的基本定理—Newton-Leibniz公式，从而不定积分的内容就显得较

5、为自然。微分中值定理和Taylor展开是一元微分学发展的一个高峰，我们在第五章中介绍这部分内容。第六章和第七章是一元函数积分的内容。Riemann积分是一元分析的一个难点。由于前面已经有连续函数的积分，Riemann积分的理解难度有所降低。为了透彻地理解Riemann积分，我们还引入了零测集的概念，利用它刻画了可积函数。第八、九和第十章是关于无穷级数理论的，这是分析学的经典内容。其中，关于数项级数，我们突出了Kummer判别法的作用，由此简化了众多收敛发散判别法的叙述。我们在这几章的最后一节中讨论了一些进一步的内容，如级数用于近似计算，Euler-Maclau

6、rin公式以及Stirling公式的渐近展开，Fourier级数的平均收敛和一致收敛性，以及对于等分布问题和等周问题的应用等。对于Fourier级数中重ii前言要的Parseval等式，我们所用的证明方法和传统的教材也有所不同。第十一章是承前继后的一章。我们将实数的基本性质提炼出来，引入了内积空间和度量空间的概念，并通过完备性，紧致性和连通性等刻画了连续映射的基本性质。与度量空间有关的内容十分丰富，我们在这里只挑选了最必需的若干概念和定理，一方面将一元分析中所获得的概念做了一些提升，另一方面为多元分析准备扎实的基础。当然，在课时有限的情况下也可将所有的论述局限

7、于欧氏空间。第十二章是多元函数的微分学。这一章对于线性代数的要求较高，读者应当具备线性映射、线性变换的基础知识。究其原因，是因为微分学的基本手法无非是作线性化，线性代数的语言很自然地要用上。比如，在这一章里，无论是拟微分平均值定理，还是逆映射定理，隐映射定理，甚至是Lagrange乘数法，它们的严格表述和证明都是用线性代数的语言完成的，其中Jacobian矩阵起了突出的作用。第十三章是多元函数的Riemann积分。和一元函数一样，我们也是用零测集刻画可积函数乃至可求面积（体积）集的。除了强调计算以外，我们还给出了多重积分变量代换公式的完整证明，这个证明通常是被

8、省略的。我们的证明和其它一些教材上的也不相同。第十四章是曲线曲面上的积分。我们实际上统一处理了欧氏空间中正则子流形上的积分。关于Green公式、Gauss公式和Stokes公式，我们没有采用分割积分区域为较简单区域的传统办法，而宁愿使用区域变换的观点讨论问题。这一章的附录中介绍了重要的Riemann-Stieltjes积分，它们是在考虑可求长曲线时自然出现的。作为应用，通过考虑Riemann-Stieltjes积分我们还得到了Riemann积分的中值公式，分部积分公式和变量替换公式的最一般情形。第十五章部分地反映了微积分发展的第三阶段的成果，我们引入了微分形式

9、，外微分运算，并给出了整体曲面的定义，