数学分析_竞赛辅导讲义

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1、高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿一、函数函数是数学分析中的基本概念，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。问题1试证不存在上的连续函数，使得在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。证若不然，则存在，使得且。设在上的最大值和最小值分别为和。若在上取常值，则在无理数集上不是一一映射。于是或。不妨设，，则由可数、开区间不可数知。任取某个，分别在和上应用介值性定理必有和使得且。因，故和都是无理数，这与在无理数集上是一一映射矛盾。

2、问题2若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一个正数，使得中的任意两点满足时，必属于某个开区间。证不妨设每个开区间都是有限区间。（1）作函数，。（2）连续，且。而闭区间上的连续函数一定有最小值，令。（连续性的证明：9，=，取上确界得即，同理，于是，故取，当时，，所以是上的连续函数。）（3），，因此存在，使得，从而。（4）而满足的点必在某个中(事实上取即可)，从而命题得证。练习1设在上可导，且。证明：对任意正数、，必存在内的两个不同的数与，使。证设，令C0=，则0

3、朗日中值定理，存在，有。同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在，有9。于是。命题得证。一、极限数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。问题3设求。证首先证明是递增数列.,假设成立，则,因此是递增数列.再证明是有界数列..显然成立.成立.设成立，则,因此，成立.根据单调有界定理知知收敛，设,在两边取极限，得,解得或，但由于,因此,从而9.练习2设，求。证显然首先证明，.,若假设,则.根据归纳法可得成立.又由,即是递增数列且有上界,根据单调有界定理知收敛，设,在两边取极限，得,解得或，但由于,因此,从而.练习

4、3设，求证：存在。[分析]两个事实：1)单调递增；2)单调递减。有不等式。证=，故{}单调下降，且=。存在。9注，其中是欧拉常数。一、积分中值定理函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）。问题4设是常数，求证。解由积分第一中值定理知，有故原式。练习4。解由积分第一中值定理知，有故原式==0。二、积分不定积分和定积分的计算，定积分的性质以及变上，下限的积分，定积分的应用和广义积分。问题5求积分。解（1）9代入（1）得原式==。练习5证明：。分析：令。练习6证明。分析：令

5、，再利用积分第二中值定理。定理：设在上Riemann可积，则，使在处连续。证明：作分划。因在上Riemann可积，取，存在，使（其中，以下类似定义。）9所以，因此至少有三个，使。取使。作区间，则在上Riemann可积。取，存在，使于是，因此至少有三个，使。取使。如此继续可以得到一个闭区间套使得（1）；（2）在上的上下确界满足。由闭区间套定理知。下证在处连续。事实上，有。而由上述构造过程知，有，此时9故在处连续。问题6设函数在上Riemann可积，且。试证明：存在闭区间，使得当时，。[分析]只需在区间上找一个连续点，使得。利用定积分的定义，分点取连续

6、点（上述定理保证存在连续点）即可。练习7若可积，则在连续点处恒等于0。证必要性若在连续，但，则有，于是，矛盾。充分性（取连续点）。一、其它问题7从已知的内部的点向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点的位置。解：设到的距离分别为。则，其中为的面积。，等号当且紧当时成立，且可达到。练习8证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。9练习9求使得下列不等式对所有的自然数都成立的最大的数和最小的数：。（）问题10设有函数列,,……,,……,求方程的一切实数解。解（1）首先验证是方程的解。（2）当时，用归纳法证明。（3

7、）当时，用归纳法证明。问题11设，，，若存在，使得，则是到的一一映射。证只需证是单射。假设不是单射，则使得。因此，使得，。于是，从而。所以，。于是，这与矛盾。故是到的一一映射。9