数学分析_竞赛辅导讲义.doc

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1、高等数学(数学分析)竞赛辅导讲稿函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理)，并会应用这些性质。问题1试证不存在I上的连续函数使得/•在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。证若不然，则存在6/,方丘，使得f(a)=f(b)=L且av几设/⑴在⑺,"上的最大值和最小值分别为M和加。若/在［a,®上取常值，则/在无理数集上不是映射。于是M>L或加<厶。不妨设L

2、M)不可数知(L,M)-/()工0。任取某个必(L,M)-/(),分别在［a,c］和［c,b］上应用介值性定理必有s和t使得a

3、uJ{7J^er}覆盖了闭区间［0,1］,则必存在一个正数/>0,使得［0,1］中的任意两点兀］，兀2满足x}-x2<3时，£,x2必属于某个开区间Ifie{/Jo证不妨设每个开区间都是有限区间。(1)作函数广［0,1］->,Xsup{6?(jc,/r

4、/)I(7ef}o(2)于连续，且/U)>0o而闭区间上的连续函数一定有最小值,令J=lmin{/(x)lxe［0,l］}o(连续性的证明：Vjc,yg［0,1］,d(x,if)=inf{J(x,6z)16/eif}

5、f(x)-f(y)

6、

7、0,取/=£‘当卜一y

8、v5时’

9、/(兀)-/(刃

10、<£，所以/⑴是［0,1］上的连续函数。)(2)Vxe［0,l］,0<^

11、即可)，从而命题得证。2练习1设/⑴在［0,1］上可导，且/(o)=o,/(i)=io证明：对任意正数a、h,必存在(0,1)内的两个不同的数纟与〃，使abfH=a+bo广©广(“)证设OvdSbvl,令Co二

12、°,贝!J0

13、穷阶的比较,实数完备性理论及其应用。问题3设a】=Vc(c>0),an+x=yjc+an,n=1,2,….求lima”。"/?—>00证首先证明｛仏｝是递增数列.=Jc+%=Jc+衣>证=a、,假设aku>ak成立，贝I」务+2=Jc+铁+]〉Jc+色=%],因此｛a“｝是递增数列.再证明｛仇｝是有界数列.4cVc显然成立.ax=4c

14、收敛，设。=lima”，在〃一>8«„+

15、2=C+a”两边取极限，得a2=c+a,解得a=“‘J1一丁铁+1ra=,但由于ciH>a}=y!c,因此d>0,从而v1+J4c+1hm%=・“TOO2练习2设O]—a/2,0“+]=ylldn,n—1,2,…，求Umano〃T8证显然仇〉o首先证明，an<2.©=V2<2,若假设an<2,则anU=y/2an0,即｛%｝是递增数+atl列且有上界，根据单调有界定

16、理知｛鑫｝收敛，设Q=在/?—>00an+l2=2an两边取极限，得a2=2a,解得。=0或a=2,但由于an>ax=^2,因此a>^2,从而liman=2.练习3设s,=1+丄+丄+・・・+丄—In”，求证：limS〃存在。23n“too[分析]两个事实:1)(1+-r单调递增n2)(1+丄严1单调递减TSn有不等