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1、第十章第1节1．（1）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（2）一致收敛.（3）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（4）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（5）一致收敛.（6）非一致收敛.（7）(i)一致收敛.(ii)非一致收敛.（8）(i)非一致收敛.(ii)非一致收敛.（9）非一致收敛.（10）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（11）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（12）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.'14.不成立;limSn(1)=≠S'(1).n→∞25.(1)α<1.(2)α
2、<2.(3)α<0.6.提示:∀η>0,证明{}Sn(x)在[a+η,b−η]上一致收敛于S'(x).取0<α<η,则S'(x)在[a+α,b−α]上一致连续,即∀ε>0,∃δ>0,∀x',x"∈[]a+α,b−α,⎧⎡1⎤⎡1⎤⎫只要x'−x"<δ,就成立S'(x')=S'(x")<ε.取N=max⎨⎢⎥,⎢⎥⎬,⎩⎣δ⎦⎣η−α⎦⎭1当n>N且x∈[]a+η,b−η时,x+∈[a+α,b−α],于是Sn(x)−S'(x)=nS'(ξ)−S'(x)<ε.nx7.提示:设S0(x)≤M,则Sn(x)≤M.
3、n!8.提示:设S(x)≤M.由S(1)=0,得到∀ε>0,∃δ>0,当x∈[]1−δ,1时,nnxS(x)<ε;再由{x}在[0,1−δ]的一致收敛性,∃N,当n>N时,对一切[]nεx∈0,1−δ成立x<.M第2节1．（1）非一致收敛.（2）一致收敛.（3）一致收敛.1（4）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（5）一致收敛.（6）一致收敛.（7）一致收敛.（8）一致收敛.（9）(i)非一致收敛.(ii)一致收敛.（10）一致收敛.（11）非一致收敛.（12）一致收敛.∞cosnx∞nsinnx2.提
4、示:证明∑与−∑在(0,2π)上内闭一致收敛.22n=0n+1n=0n+1∞∞−nxkk+1−nx3.提示:证明∑ne与(−1)∑ne(k=1,2,?)在(0,+∞)上内闭一致收敛.n=1n=1∞∞−xk−xk4.提示:证明∑n与(−1)∑nlnn(k=1,2,?)在(1,+∞)上内闭一致收敛;n=1n=1∞∞n−xkn−xk∑(−1)n与(−1)∑(−1)nlnn(k=1,2,?)在(0,+∞)上内闭一致收敛.n=1n=1∞dx∞15.提示:证明∑arctan=∑在(−∞,+∞)上一致收敛.dx22n=
5、1nn=12xn+2n∞an6.提示:(1)利用Abel判别法证明∑在[0,δ)上一致收敛.xn=1n∞n(2)利用Abel判别法证明∑anx在[0,1]上一致收敛.n=1∞7．提示:先利用Dini定理证明∑vn(x)在(a,b)内闭一致收敛,再利用Cauchyn=1∞收敛原理证明∑un(x)在(a,b)内闭一致收敛.n=1m⎧mm⎫8.提示:不等式∑uk(x)≤max⎨∑uk(a),∑uk(b)⎬对一切x∈[a,b]成立,然k=n+1⎩k=n+1k=n+1⎭后利用Cauchy收敛原理.∞9.提示:反证法
6、.设∑un(x)在(a,a+δ)上一致收敛,则∀ε>0,∃N,对一切n=12mεm>n>N与一切x∈(a,a+δ),成立∑uk(x)<,再令x→a+,得到k=n+12mε∞∑uk(a)≤<ε,这说明∑un(x)在x=a收敛.k=n+12n=1⎛x⎞a10.提示:ln⎜1+⎟≤.22⎝nlnn⎠nlnnπ3π∞1πx11．(2)∫2f(x)dx=ln.提示：∫2f(x)dx=∑∫2tandxπ2πnπnn=122666πcos∞3⋅2n+1∞xsinx=∑ln，再利用∏cos=.π2nxn=1cosn=1n
7、+12⎛π⎞∞1nπ12.(2)提示:F⎜⎟=∑sin,这是一个Leibniz级数,它的前两项为⎝2⎠n=1nn3+n221−.2330∞1∞1∞113.提示:(1)f(x1)−f(x2)=∑∑n−n≤x1−x2⋅∑n.nn=002+x1=2+x2n=04A∞Adx∞⎛A⎞(2)lim∫f(x)dx=lim∑∫=lim∑ln⎜1+⎟=+∞.A→+∞0A→+∞002n+xA→+∞⎝n⎠n=n=02第3节1⎡11⎞1．（1）R=,D=−,⎟.（2）R=1,D=(0,2).⎢3⎣33⎠（3）R=2,D=[−2,
8、2].（4）R=1,D=(−2,0].（5）R=+∞,D=(−∞,+∞).（6）R=1,D=[−1,1].（7）R=e,D=(−e,e).提示:应用Stirling公式.（8）R=4,D=(−4,4).提示:应用Stirling公式.（9）R=1,D=[−1,1).提示：当x=1时应用Raabe判别法.3⎡11⎞⎛11⎞2.（1）D=⎢−,⎟.（2）D=(−a,a).（3）D=⎜⎜−,⎟⎟.⎣aa⎠⎝aa⎠3.（1）R=R1.
