资源描述：
《《数学分析》下册习题集答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第九章习题习题9.11.讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。∞∞12n⑴∑;⑵∑;n=1n(n+2)n=13n+1∞∞1⎛11⎞⑶∑;⑷∑⎜n−n⎟;n=1n(n+1)(n+2)n=1⎝23⎠∞∞n−1n+115+4⑸∑;⑹∑2n;nn=1nn=13∞∞2n−1⑺∑(n+2−2n+1+n);⑻∑n;n=1n=13∞n⑼∑qcosnx(
2、q
3、<1).n=02.确定x的范围，使下列级数收敛。∞∞1nx⑴∑n;⑵∑e;n=1(1−x)n=1∞n⑶∑x(1−x).n=13.求八进制无限循环小数(36.07
4、36073607⋯)8的值。1∞2n4.设x=x(1−x)dx，求级数x的和。n∫∑n0n=121215.设抛物线l：y=nx+和l′：y=(n+1)x+的交点的横坐标的绝对值为annnnn+1（n=1,2,?）。(1)求抛物线l与l′所围成的平面图形的面积S；nnn∞Sn(2)求级数∑的和。n=1an习题9.21.求下列数列的上极限与下极限2n2nπnn+1(1)x=cos；(2)x=n+(-1)；nn2n+15nnnnπ(3)x=-n[(-1)+2]；(4)x=n+1+sin；nn3n(n−1)(5)x=
5、2(-1)n+1+3(−1)2。n2.证明：1⎧climx,c>0,⎪n(1)lim(-x)=-limx；(2)lim(cx)=n→∞nnn⎨n→∞n→∞n→∞⎪⎩climxn,c<0.n→∞3.证明：(1)lim(x+y)≥limx+limy；nnnnn→∞n→∞n→∞(2)若limx存在，则nn→∞lim(x+y)=limx+limy。nnnnn→∞n→∞n→∞4.证明：若limx=x，-∞＜x＜0,则nn→∞lim(xy)=limx⋅limy；nnnnn→∞n→∞n→∞lim(xy)=limx⋅limy
6、。nnnnn→∞n→∞n→∞习题9.31.讨论下列正项级数的收敛性：∞∞24n2n⑴∑4;⑵∑3;n=1n+1n=1n+3n∞∞11⑶∑2;⑷∑;n=2lnnn=1n!∞∞lnn⎛π⎞⑸∑2;⑹∑⎜1−cos⎟;n=1nn=1⎝n⎠∞∞1n⑺∑;⑻∑(n−1);nn=1nn=1∞2∞nnn[2+(−1)]⑼∑n;⑽∑2n+1;n=12n=12∞∞n2−n2n!⑾∑ne;⑿∑n;n=1n=1n∞∞2222⒀∑(n+1−n−1);⒁∑(2n−n+1−n−1);n=1n=1∞2∞πn+1⒂∑ln2;⒃∑lncos;
7、n=2n−1n=3n∞na⒄∑2n(a＞0)。n=1(1+a)(1+a)?(1+a)2.利用级数收敛的必要条件，证明：nn(2n)!(1)lim=0；(2)lim=0。n→∞(n!)2n→∞2n(n+1)3.利用Raabe判别法判断下列级数的收敛性：2∞n!(1)∑(a＞0)；n=1(a+1)(a+2)?(a+n)11∞∞1++?+1⎛1⎞2n(2)∑lnn；(3)∑⎜⎟。n=13n=1⎝2⎠4.讨论下列级数的收敛性：∞1∞2x2nπsinx(1)∑∫ndx；(2)∑∫dx；01−xnπx2n=1n=1∞1(
8、3)∑∫nln(1+x)dx。0n=11n+1dx15.利用不等式＜∫＜，证明：n+1nxn⎛111⎞lim⎜1+++?+−lnn⎟n→∞⎝23n⎠存在(此极限为Euler常数γ—见例2.4.8)。∞∞xn6.设∑xn与∑yn是两个正项级数，若lim=0或+∞，请问这两个级数的收敛性关n→∞yn=1n=1n系如何?∞∞27.设正项级数∑xn收敛，则∑xn也收敛；反之如何?n=1n=1∞1∞x1n8.设正项级数∑xn收敛，则当p＞时，级数∑p收敛；又问当0＜p≤时，结论n=12n=1n2是否仍然成立?9．设f(
9、x)在[1,+∞)上单调增加，且limf(x)=A。x→+∞∞（1）证明级数∑[f(n+1)−f(n)]收敛，并求其和；n=1∞（2）进一步设f(x)在[1,+∞)上二阶可导，且f′′(x)<0，证明级数∑f′(n)收敛。n=1π10．设a=4tannxdx，n=1,2,?。n∫0∞a+ann+2（1）求级数∑的和；n=1n∞an（2）设λ>0，证明级数∑收敛。λn=1nx∞n+1111.设xn＞0，＞1−(n=1,2,⋯)，证明∑xn发散。xnnn=1∞∞12．设正项级数∑xn发散（xn>0，n=1,2,?
10、），证明必存在发散的正项级数∑yn，n=1n=1yn使得lim=0。n→∞xnn（提示：设Sn=∑xk，令y1=S1，yn=Sn−Sn−1(n=2,3,4,?)）k=13∞n∞xn13.设正项级数∑xn发散，Sn=∑xk，证明级数∑2收敛。n=1k=1n=1SnxS−Snnn−1(提示：利用不等式≤)2SSSnnn−1∞an14．设{an}为Fibonacci数列。证明级数∑n收敛，并求其和。n=1
