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《数学分析考研复习讲义9含参变量积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章含参变量积分Ⅰ基本概念与主要结果一含参量正常积分1定义设f(,)xy为矩形区域R=×[,][,]abcd上的二元函数，若∀ycd∈[,]，一元函数f(,)xy在[,ab]上可积，则其积分值是y在[,cd]上取值的函数，记为ϕ()y，即bϕ()yf=∈∫(,),xydxy[,].cda称之为含参量的有限积分，y称为参变量。更一般地，我们有如下含参量积分：(fGxyayxby在=≤{(,)()≤(),α≤y≤β})by()ϕ()yf=∈∫(,),xydxy[,].αβay()其中axbx(),()为[,αβ]上的连续函数。2分析性质（1）连续性设二元函数f(,)xy在区域Gx=≤{(
2、,)()ycxxd≤(),xaxb≤≤}上连续，其中cxdx(),()为[,ab]上连续函数，则函数dx()F()xf=∫(,)xydyax()在[a,b]上连续。（2）可微性∂若函数f与f在[,ab][,]×cd上连续，则∂xdI()xf=∫(,)xydyc在[,ab]上可微，且d∂'I()xf=∫(,)xydyc∂x（3）可积性若f(,)xy在[,ab][,]×cd上连续，则I()x和Jy()分别在[,ab]和[,cd]上可积。此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：bddb⎡f(,)xydydx⎤与⎡f(,)xydxdy⎤∫∫ac⎢⎣⎥⎦∫∫ca⎢⎣⎥⎦为了书写
3、简便起见，上述两个积分分别写作：bddb∫∫dxfxydy(,)与∫∫dyfxydx(,)acca统称为累次积分。（4）若f(,)xy在[,ab][,]×cd上连续，则bddb∫∫dxfxydy(,)=∫∫dyfxydx(,)acca一、参量的常积分1、一致收敛性及其判别法定义1设函数定义在无界区域Gx=≤{(,)()ycxxd≤(),xaxb≤≤}上，若对每一固定的x∈[,]ab，反常积分+∞∫f(,)xydyc都收敛，则它的值是x在[,ab]上取值的函数，记之为I()x，则有+∞I()xf=∫(,)xydy，x∈[,]ab（1）c称（1）式为定义在[,ab]上的含参量的无穷限反常积
4、分，简称含参量无穷积分。定义2（一致收敛）若含参量积分（1）满足：∀ε>∃>0,N0，当M>N时，∀∈x[,]ab，有+∞M
5、(∫∫fxydy,)−fxydy(,)
6、<ε，ccb则称含参量积分（1）在[,ab]上一致收敛于I()x，或简称∫f(,)xydy在[,ab]上一致收a敛。判别法则定理1（柯西准则）含参量无穷积分（1）在[,ab]上一致收敛的充要条件是：∀>∃>ε0,McAAMxab,当时,>,∀∈[,]，有12A2
7、(∫fxydy,)
8、<εA1定理2（魏尔斯特拉斯M-判别法）设有函数gy()，使得fxygyaxbcy(,)≤(),≤≤≤<+∞,.+∞+∞若∫gydy()收敛，
9、则∫f(,)xydy在[,ab]上一致收敛。cc定理3含参量反常积分（1）在[,ab]上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{An}（其中Ac1=），函数项级数∞∞An+1∑∑∫f(,)xydy=uxn()Annn==11在[,ab]上一致收敛。（参具体华师大P181）定理4（狄利克雷判别法）设（1）对一切实数Nc>，含参量反常积分N∫f(,)xydyc对参量x在上一致有界，即∃M>∀>∀∈0,Ncxab,[,],有N∫f(,)xydyM≤;c(2)对每个x∈[,]ab，函数gxy(,)关于y是单调递减的且当y→∞时，对参量x，+∞gxy(,)一致收敛于0，则含参量反常积分∫
10、f(,)(,)xygxydy在[,ab]一致收敛。c定理5（阿贝尔判别法）设+∞（1）∫f(,)xydy在[,ab]上一致收敛；c（2）对每一个x∈[,]ab，函数gxy(,)为y的单调函数，且对参量x，gxy(,)在[,ab]上一致有界，即∃11、c+∞上连续，若x+∞+∞I()xf=(,)xydy在[,]ab上收敛，f(,)xydy在[,ab]上一致收敛，则I()x在∫c∫cx[,]ab可微，且+∞'I()xf=(,)xydy∫xc+∞定理3（可积性）设f(,)xy在[,ab][,)×+c∞上连续，若I()xf=∫(,)xydy在[,ab]上c一致收敛，则I()x在[,ab]上可积，且b+∞+∞b∫∫dxfxydy(,)=∫∫dyfxydx(,)acca定理4设f(,)xy在[,ac+
