数学分析笔记(考研)

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1、雪林雨荷，一生承诺！！全国考研专业课高分资料大连理工大学《数学分析》笔记笔记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题2-3套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！181/181《考研专业课高分资料》雪林雨荷，一生承诺！！目录第二模块笔记3第一部分实数集与函数3第二部分 数列极限8第三部分 函数极限10第四部分函数连续性15

2、第五部分 导数与微分32第六部分  微分中值定理及其应用38第八部分不定积分53第九部分 定积分56第十部分  定积分的应用62第十一部分反常积分70第十二部分数项级数74第十三部分函数列与函数项级数92第十四部分幂级数103第十五部分傅里叶级数118第十六部分多元函数的极限与连续133第十七部分多元函数微分学138第十八部分隐函数定理及其应用150第十九部分含参量积分154第二十部分曲线积分165第二十一部分重积分168第二十二部分曲面积分177181/181《考研专业课高分资料》雪林雨荷，一生承诺！！第二模

3、块笔记第一部分 实数集与函数                 §1  实 数     数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念 一．      实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：   若规定：            则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：记为  ；0记为  ； 记为  实数大小的比较定义1 给定两个非负实数其中 为非负整数，。若由1） 则称 与 相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称 大于（或 小于 ），分别记为（或）。规定任何非

4、负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称   实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 181/181《考研专业课高分资料》雪林雨荷，一生承诺！！的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如  ，则1.4,1.41,1.414,1.4142, 称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143, 称为的过剩近似值。命题 设 为两个实数，则实数的一些主要性质    1 四则运算封闭性:2 三歧性(即有序性):3 实数大

5、小由传递性，即4 Achimedes性:5 稠密性:有理数和无理数的稠密性.6 实数集的几何表示───数轴:例   二.绝对值与不等式 绝对值定义：从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：   绝对值的一些主要性质181/181《考研专业课高分资料》雪林雨荷，一生承诺！！ 性质4（三角不等式）的证明：       三. 几个重要不等式:          ⑴            ⑵ 对记                             (算术平均值)                            

6、       (几何平均值)              (调和平均值)有均值不等式:  等号当且仅当 时成立. ⑶ Bernoulli不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)   对由二项展开式           181/181《考研专业课高分资料》雪林雨荷，一生承诺！！ 有: 上式右端任何一项.§2数集。确界§2二  数集.确界原理:一 区间与邻域:邻域二  有界数集.确界原理:1.有界数集:  定义(上、下有界,有界) 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合  也是有界数集.      无界数集:对

7、任意，存在，则称S为无界集。 等都是无界数集, 例证明集合是无界数集.证明：对任意,存在由无界集定义，E为无界集。确界先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（1）   对一切 有，即是数集S的上界；181/181《考研专业课高分资料》雪林雨荷，一生承诺！！（2）   对任何存在使得（即是S的最小上界）则称数为数集S的上确界。记作 定义3 设S

8、是R中的一个数集，若数满足一下两条：（3）   对一切 有，即是数集S的下界；（4）   对任何存在使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界。记作   §3函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.一 函数的定义   1. 函数的几点说明.       函数的两要素:定义域和对应法则约定: