学案12 导数的应用.ppt

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1、学案12导数的应用导数的应用(1)了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.(3)会用导数解决实际问题.1.以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间,求极值与最值.2.以实际问题为背景,考查利用导数解决生活中的优化问题.3.以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等知识相结合的问题.1.函数的单调性在(a,

2、b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为;f′(x)≤0f(x)为.减函数增函数2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根;f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)=0③考察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得;如果

3、左负右正,那么f(x)在x0处取得.3.函数的最值(1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在［a,b］上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.极小值极大值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在(a,b)内的;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,

4、最小的一个是最小值.极值考点1函数的单调性与导数已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上单调递减,在［0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】f′(x)=ex-a.(1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0,即a≤ex在R上

5、恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0.【分析】(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间;(2)转化为恒成立问题求a;(3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.(3)解法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0］上恒成立.∴a≥ex在(-∞,0］上恒成立.∵ex在(-∞,0］上为增函数.∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0,+∞)上恒成立.∴a≤ex在［0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.【评析】利用导数研究函数的单调性

6、比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0［或f′

7、(x)≤0］恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.(1)讨论函数f（x）的单调区间；(2)设函数f（x）在区间（）内是减函数，求a的取值范围.【解析】（1）f（x）=x3+ax2+x+1，f′(x)=3x2+2ax+1,当Δ=（2a）2-3×4=4a2-12≤0,即≤a≤时，f′(x)≥0恒成立，此时f（x）为单调递增函数，

8、单调区间为（-∞,+∞）