第12讲导数的应用学案

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1、第12讲　导数的应用(Ⅱ)学案【2013年高考会这样考】1．考查利用导数解决有关实际问题．2．考查利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点个数等．3．考查利用导数证明不等式、解决有关不等式问题．【复习目标】本节复习时，要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法．数形结合思想，如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征，或求两曲线交点个数等；等价转化思想，如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等．基础梳理1．利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，

2、写出相应的函数关系式y＝f(x)并确定定义域；(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．2．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题思路的，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小

3、值即可，不必再与端点的函数值比较．两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件2．(2012·青岛质检)若函数f(x)＝x3－3x＋

4、a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)．A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)3．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　)．A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm34．若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则有(　　)．A．f(a)＞f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)＜f(b)D．f(a)·f(b)＞15．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a

5、的取值范围为________．考向一　运用导数解决恒成立及求参数范围问题【例1】►(2011·郑州联考)已知函数f(x)＝lnx－.(1)若a＞0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．[审题视点](1)求导数f′(x)→判断f′(x)＞0或f′(x)＜0→确定单调性．(2)根据单调性→求f(x)在[1，e]上的最小值→列方程求解．(3)f(x)＜x2→a＞xlnx－x3→求xlnx－x3的最大

6、值．解　第5页【方法总结】(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域；(2)转化为函数在区间上的最小值问题，然后利用导数研究．【训练1】设函数f(x)＝x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．解　考向二　运用导数证明不等式问题【例2】►设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.[审题视点]

7、第(2)问构造函数h(x)＝ex－x2＋2ax－1，利用函数的单调性解决．(1)解　【方法总结】利用导数方法证明不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)＞0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【训练2】已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝

8、x3＋x2的下方．(1)解　第5页．考向三　运用导数解决生活中的优化问题【例3】►现需要对泰山景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝x－ax2－ln，∈[t，＋∞)，其中t为大于的常数．当x＝10时，y＝9.2.(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．[审题视点]第(1)问把x＝10，y＝9.2代入函数式，即可求出a的值，得到y＝f(x