第12讲导数的应用教案

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1、第12讲　导数的应用(Ⅱ)教案【2013年高考会这样考】1．考查利用导数解决有关实际问题．2．考查利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点个数等．3．考查利用导数证明不等式、解决有关不等式问题．【复习目标】本节复习时，要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法．数形结合思想，如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征，或求两曲线交点个数等；等价转化思想，如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等．基础梳理1．利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)

2、并确定定义域；(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．2．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题思路的，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．两个转化(1)利用导数解决含有

3、参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析　因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(

4、0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案　C2．(2012·青岛质检)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)．A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)·f(1)＜0.即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．答案　A3．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的

5、四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　)．A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析　设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x(0＜x＜5)＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm)3.答案　C4．若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则有(　　)．A．f(a)＞f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)＜f(b)D．f(a)·f(b)＞1解析　f′(x)

6、＝－lnx＋＝(1－lnx)．∴在(0，e)上f′(x)＞0.∴f(x)在(0，e)上是增函数．答案　C5．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x第5页＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)考向一　运用导数解决恒成立及求参数范围问题【例1】►(2011·郑州联考)已知函数f(x)＝lnx－.(1)若a＞0，试

7、判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．[审题视点](1)求导数f′(x)→判断f′(x)＞0或f′(x)＜0→确定单调性．(2)根据单调性→求f(x)在[1，e]上的最小值→列方程求解．(3)f(x)＜x2→a＞xlnx－x3→求xlnx－x3的最大值．解　(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a＞0，∴f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知，f′(x)＝.①若a

8、≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时