第11讲导数的应用教案

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1、第11讲　导数的应用(Ⅰ)教案【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．利用导数求函数的极值．3．利用导数求闭区间上函数的最值．【复习目标】本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用．重点解决利用导数来研究函数的单调性、极值、最值的问题；本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用．基础梳理1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为增函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为减函数．

2、2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b

3、]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的

4、范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．一个防范求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．（例：已知函数，如果f(x)在x＝1处有极值，求b,c的值）问一问自己①函数在不可导点是否存在极值？（例求的极值）②

5、f′(x)>0与f(x)是增函数的充分或必要性如何理解。第5页双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)．A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析　f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)＞0得x＞2.答案　D2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值3D．极小值－2，极大值2解析　y′＝3－3x2，令y′＝0得：x＝±1.则有x(-∞，-1)－1(-1,1)1(1，+∞)y′－0＋0－y减极小值-1增极大值3减由表可知

6、，C正确．答案　C3．(2011·深圳调研)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)．解析　当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．答案　D4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　)．A．－B．－C．－4D．－解析　f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.比较f

7、(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－.可知最小值为－.答案　A5．(2012·扬州检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析　f′(x)＝3x2＋2x＋m，由f′(x)≥0，得m≥－3x2－2x，令g(x)＝－3x2－2x，则g(x)＝－32＋≤.∴m≥.答案　　考向一　运用导数解决函数的单调性问题【例1】►已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．[审题视点](1)通过