第45讲导数的综合应用

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1、第44讲导数的综合应用1.已知函数,(1)求函数的单调性;(2)求在区间上的最小值.102.已知函数，其中是常数.（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值.解：（Ⅰ）由可得.……………………………………2分当时,,.……………………………………4分所以曲线在点处的切线方程为，即.………………………………………6分（Ⅱ）令，解得或.……………………………………8分当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.所以的最小值为＝;………………………………………10分当，即时,随的变化情况如下表↘↗由上表可

2、知函数的最小值为.……………103.已知函数(1)当a=1,求函数的极值；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.104.已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.（1）…………1分由已知，解得.…………3分（II）函数的定义域为.（1）当时,，的单调递增区间为；……5分（2）当时.当变化时，的变化情况如下：-+极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.…………8分（II）由得，…………9分由已知函数为上的单

3、调减函数，则在上恒成立，10即在上恒成立.即在上恒成立.…………11分令，在上，所以在为减函数.,所以.…………14分3.设函数。（I）求函数的单调区间、极大值和极小值。（II）若时，恒有，求实数的取值范围。解：（Ⅰ），（1分）令，得或。（2分）则当变化时，与的变化情况如下表：（）（，）＋0－0＋递增递减递增可知：当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数。（5分）当时，函数为减函数。（6分）当时，的极大值为；（7分）当时，的极小值为。（8分）（II）因为的对称轴为，且其图象的开口向上，所以在区间上是增函数。（

4、10分）则在区间上恒有等价于的最小值大于成立。所以。（12分）解得，又，则的取值范围是。（13分）3.已知函数，其中.10（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值是，求的值.解：.………………3分当时，，从而函数在上单调递增.………………4分当时，令，解得，舍去.……………5分此时，与的情况如下：↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是.…………7分（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去.………………9分②当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去.………………10

5、分③当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为10.令，解得，适合.………………12分综上，当在上的最大值是时，.………………13分已知函数其中的图象如右图所示，则函数的图象大致为（A）（B）（C）（D）已知函数在x=a时取到最小值，则a=________．设函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的，都有，求的取值范围.9.（I）∵当时，，………………………1分…………………………………2分10当时，，0…………………………………3分∴曲线在点处的切线方程为…………

6、……………4分（II）……………………………5分时，，是函数的单调减区间；无极值；……………6分时，在区间上，；在区间上，，因此是函数的单调减区间，是函数的单调增区间，函数的极大值是；函数的极小值是；………………8分时，在区间上，；在区间上，，因此是函数的单调减区间，是函数的单调增区间函数的极大值是，函数的极小值是………………10分(III)根据（II）问的结论，时，………………11分因此，不等式在区间上恒成立必须且只需：，解之，得……………………13分已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（

7、Ⅱ）求的单调区间．10解：（Ⅰ）当时，，．……2分由，得曲线在原点处的切线方程是．……4分（Ⅱ）．………6分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．…7分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．……10分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是；单调减区间是，．……13分综上，时，在，单调递减；在单调递增.10时，在单调递增，在单调递减；时，在，单调递增；在单调递减．10