学案12 导数的应用

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1、学案12导数的应用导数的应用(1)了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.(3)会用导数解决实际问题.1.以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间,求极值与最值.2.以实际问题为背景,考查利用导数解决生活中的优化问题.3.以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等知识相结合的问题.1.函数的单调性在(a,b)内可导函数

2、f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为;f′(x)≤0f(x)为.减函数增函数2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根;f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)=0③考察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得;如果左负右正,那么f(x)在x0

3、处取得.3.函数的最值(1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在［a,b］上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.极小值极大值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在(a,b)内的;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.极值考点1函数的单调性

4、与导数【解析】【评析】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范

5、围时,应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,求f(x)的单调区间.【解析】由已知得函数f(x)的定义域为（－１，＋∞）,且f′(x)=(a≥－1).(1)当-1≤a≤0时,由f′(x)<0知,函数f(x)在(-1，+）上单调递减.(2)当a>0时，由f′（x）=0,解得x=.f′（x）,

6、f(x)随x的变化情况如下表：x(-1,)f′（x）-0+f（x）极小值↘↗从上表可知当x∈(-1,)时，f′(x)<0,函数f(x)在(-1,)上单调递减.当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.综上所述:当-1≤a≤0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.当a>0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,f(x)在(,+∞)上单调递增.考点2函数的极值与导数设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.【分析】求出f′(x),利用f′

7、(x)>0,f′(x)<0,求出单调区间,再求极值.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：x(-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)f′(x)-0+f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增故f(x)的区间是(-∞,ln2)，区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)(2)证明:设g(x)=e