12导数的应用一

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，如2009年高考T3.2.利用导数求函数的极值，或最值，如2010年高考T14,2011年高考T12.3.已知函数的极值或最值求参数，如2008年高考T14.[归纳知识整合]1．函数的单调性与导数[探究

2、]　1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做

3、函数的极小值．(2)函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．[探究]　2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？导数为零是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数

4、f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[探究]　3.函数的极值和函数的最值有什么联系和

5、区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．[自测牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝

6、ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)2．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________，极小值为________．解析：∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，则x＝±2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)极大值＝f(－2)＝，f(x)极小值＝f(2)＝－.答案：，－3．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋b

7、x＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是________．解析：当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．答案：④4．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．解析：由题意，得f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．由于f(－1

8、)＝－2，f(1)＝0，f(0)＝2，故f(x)在[－1,1]上的最大值为2.答案：25．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.又∵f(x)在R上是单调函数，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥答案：运用导数解决函数的单调性问题[例1]　(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax＋xlnx，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)设g(x)＝，