误差理论与数据处理第二章1.ppt

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1、1/75第二章误差的基本性质与处理本章的目的：(重点掌握）1、研究三种误差的性质，出现的规律与产生原因2、找出相应减少误差的方法3、综合分析问题2/752-1随机误差一．定义：同一量值进行多次等精度的测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而误差出现又没有确定规律，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。注：影响因素包括环境、人员、测试装置等3/75二．随机误差特征(服从正态分布)：1对称性－绝对值相等正、负误差出现次数相等。2单峰性－绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多。3有限性－在一定测量条件下，随机误差不会超过一定界限。4抵偿性－随测量次数增加，随机误差算术

2、平均值趋于零。(特征1的推理)具有以上性质的误差分布规律，一般称正态分布规律，或反之。4/75正态分布曲线分布密度随机误差5/75随机误差的正态分布大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学等特性分布例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器输出电压正态分布描述：密度函数、分布函数、数学期望、方差、平均误差和或然误差表示6/75三．随机误差的数字特征1.定义：用于描述随机误差分布特征的数值。2.随机误差的数字特征主要有：a)算术平均值、b)均方根偏差(标准差)算术平均值－表示随机误差的分布中心，可作为等精度多次测量结果。均方根偏差－分散性指标，描

3、述测量数和测量结果的精度。分散度反映单次测量值的不可靠性，作为不可靠程度的评价标准，平均值一定，可能其标准差不同。7/75(一)算术平均值1随机误差的表示方法设被测量真值L0(理想、理论)，一系列测量值为l0，则测量值中随机误差δi为(i=1,2,3…，n)2算术平均值定义设　为n次测量所得结果，则算术平均值定义为：8/753与之关系对n个求和，有=>同除以n9/75说明：(1)n=1,δ1=-L0=l1-L0即为随机误差定义(2)n=2，(3)n→∞时，由随机误差的特征(抵偿性)有即：如能对同一量测无限次时，就可得到不受随机误差影响的测量值，或影响甚微，可忽略。10/75理论上

4、讲，n→∞时，算术平均值定义为数学期望(最大或然值)(理想状态下得到真值的理论依据)(4)对有限次测量时,但n较大11/754残余误差表示由于L0是未知，一般不能用，可用有限测量的算术平均值进行上式分析即：li－－第i个测量值－－li的残余误差12/75说明：(1)一组测量值残差之和为零，即(精确值)证明如下：由定义，当为未凑整(即不用数字舍入规则)时，由定义(准确数)13/75应用：可用上式检验及残差计算的正确性(校核)如对于凑整(即利用舍入规则时)，成为非准确数假如有舍入误差即代入残差和公式中：14/75(2)残余误差代数和满足以下条件(残差和性质)：残差代数和校核残差及的统

5、一规则为：a)当，求得为非凑整的准确数时，。b)当，求得为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数。c)当，求得为凑整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数(不足)。15/75如：1.372=1.37+0.002(0.002为余数)1.368=1.37-0.002(0.002为亏数)(3)残余误差代数和绝对值满足：(残差和性质)当n为偶数时，当n为奇数时，这里：A－实际求得的算术平均值　末位数的一个单位。如：则：16/75(4)一组测量值残余误差的平方和为最小(重要）导出：=最小求和：若最小，必有：17/75分析表明：如不取，而用其他值代替真值，则相应偏差的平方和一定要比残差平

6、方和大。从另一角度说明了较其他值更可信赖。18/75(二)标准差(均方根误差，均方根偏差，标准偏差)1.引例：算术平均值虽可表示一组测得值结果，但无法表示这组测得值的精度。如：以下两组测量值。Ⅰ组：20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002Ⅱ组：19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994两组平均值=20.0000显然：两组精度不同，Ⅱ分散性>Ⅰ组，Ⅰ精度>Ⅱ如何评价两组测量精度？－－标准差19/752.标准差定义(标准偏差简称标准差)这里－标准差n－测量次数(应充分大)说明：(1)(2)与测量值具有相同误差(

7、3)评定测得值的精度(4)－方差20/753标准差与残差的关系实际求解中无法得求到，常用来分析。－算术平均值的误差21/75则：(1)对(1)求和(2)22/75若：对式(2)式直接平方，有：当n适当大时，认为：23/75又：代入：24/75说明：(1)以上分析用于单组(mi=1)即单次测量的25/75(2)正态分布下，与分布密度和分布函数的关系式为：a)分布密度(概率密度)定义：(连续函数）b)分布函数(对于连续函数而言)相应数学期望(平均值)：（代入）方差：26/75(3)对