误差理论与数据处理第二章随机误差

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1、第二章随机误差教学目的和要求通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计置信区间3-3主要内容产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本原则。随

2、机误差的分布：正态分布、非正态分布。算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。测量的标准偏差：单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误差、算术平均值的极限误差。一、随机误差的定义随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。第一节　随机误差概述二、随机误差产生的原因随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。

3、这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。第一节　随机误差概述例题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法确定，因此造

4、成随机误差。三、随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。四、随机误差的处理原则随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。服从正态分布随机误差的特征3-10有界性随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机

5、误差的绝对值不会超过某一界限。对称性在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。抵偿性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性——抵偿性。单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。第二节随机误差的分布一、正态分布随机误差概率分布密度函数表达式为：图2－4数学期望E（δ）＝0方差D（δ）＝σ2标准偏差均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：当

6、δ

7、

8、≤a当

9、δ

10、＞a它的数学期望为：E（δ）＝0它的方差为：它的标准偏差为：二、均匀分布三、三角分布三角分布的概率密度函数为：3-13数学期望：E（δ）＝0它的方差为：它的标准偏差为：四、反正弦分布它的概率密度为：数学期望：E（δ）＝0方差为：标准偏差为：3-14五、χ2分布设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则随机变量的概率密度为3-15特征量为：六、t分布设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变量的概率密度t分布的主要分布特征量为：3-16（2－32

11、）（2－33）七、F分布设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的χ2分布，则随机变量的概率密度为3-17第三节算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值　　　　　　,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。一、算术平均值算术平均值原理若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性满足最小二乘原理在正态分布

12、条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大二、残余误差3-21由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值