一道最小值问题的探究历程.pdf

《一道最小值问题的探究历程.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、42中学数学教学2014年第4期一道最小值问题的探究历程河南省方城县教研室邵明宪杜春峰(邮编：473200){P1P2l一5，等号成立当且仅当点P、P1、2问题已知口+26：==6，则√+1+共线甘吾一∞6一号．易+9的最小值是()故当n===3A．1+B．3+、／，而C．5D．v／，6一号时，√+1+这是《中学数学教学}2011年第5期“错在哪有最小值5．里?”的第3题．供题者在对错解：“由a+2b一6，2变换视角寻求新解由于目标式子可化为一元型，故容易从导数Nf~+I+：一二FT+是求函数最值的通法的视角想到下面方法．一V厂二F+≥别解2由已

2、知，N／~+I+一J(b一3—6)+(1—3)一13，从而选(D)”、，而+雨．分析后指出：因其构造的两点Pt(6—3，1)、P2(，记厂(6)=：=而+、厕，则3)不能在原点(=)的两旁，故J0PJ+JOP。J≥IP，P2I的等号不成立．认真研读，深受启发之6一与+志．余，笔者从题解研究的角度对该题作了探究，汇易得厂(6)一。6一9，且6≤0时，(6)报于后，供大家参考．1同一视角优化解法<0，b≥3时，(6)>0．作者的正解仍以原点到两动点的距离之和又o<6<导时，厂(6)一的最小值为模型，动点的构造依然稍显复杂．事一实上，从几何意义人手，将

3、J(b一3)。+1+、／(q-9)L(6—3)‘十l6+9化归为基本几何模型，视之为动点P(b，而b[(6—3)。+1]一(6—3)(6+9)一(4b一9)(9—2b)<0，0)到两定点P(3，±1)、P(0，±3)的距离和的最小值，便易想好做．故0<6<9时，厂(6)<0．别解1设点P(b，O)、Pl(31)、P2(0，同理，9<6<3时，厂(6)>0．一3)(或Pl(3，一1)、P2(0，3))，综上，6<号时，厂(6)罢时，由已知，√+1+===、／，二可+、一IPPI+lPPl≥厂(6)>0．)Ail~f(b)≥厂(罟)一5．2

4、014年第4期中学数学教学43故所求的最小值是5．≥a2+6。+2(1ot,+3)+1o面对以上解题成本之高，繁则思变，从立足通法、追求简易的角度再作探究，联想到利用不一寺(以+26)+16等式求最值，又获新解．===25，别解3因n+2b一6，故√+1+从而√譬+1+雨≥5，等号成立当一=+，r口+26—6而(、／，二可+)。一b2+且仅当{46===9n2甘口一_主_，6===号．I≥一6(6—3)。+10+2~／(b2+9)E(b一3)+1]故所求的最小值是5．一b+(6—3)+3解题回顾盘点收获解题回顾作为解题过程的重要阶段，是解题的归宿

5、和升华．回顾对问题一题多解的探究，不+10一b+(3～6)+2Ib(3一b)+3I+10仅能将多个知识点以同一问题为载体串联起来，≥b。+(3—6)。+2Eb(3—6)+3]+10起到掌握和运用所学知识与方法的作用，更重要=：=Eb+(3—6)]+16—25，的是通过对不同解法的分析比较，找到解题的最因此，v厂二雨+丽≥5，等号佳途径和适合推广的方法，培养学生辨别优劣、成．．立当．且仅．当．f【b6(一9(3—6)甘6一号q。择善而从和触类旁通的能力．研究发现，别解16(3一—6)≥=≥一3为最简单方法，别解4是本题适合推广的方法．故口一号，6=

6、==9时，原式有最小值5．用之易证《数学教学}2013年第12期第903题：设z，Y，∈R，且+y+2—8，’求证：反思上述方法，不难发现下面解法更朴实自然．++≥1o．具体请有兴趣的读者完成．牌4屺+厢)4结语a2以上表明，一旦将问题所蕴含的丰富内涵发一+6。+10+(+1)(6+9)掘出来，即可开拓出一片新的数学园地．其探究a2一+6+{6+号口+6。+9+l0过程可给人很多启发，对提高学习者的数学素养具有重要价值．≥a2+6+{口。6。+3+9+1o(收稿日期：2014-06-10)一+6+2l1n6+3I+lo