一道解析几何过定点问题的探究.pdf

《一道解析几何过定点问题的探究.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、教学方法课程教育研究．一道解析几何过定点问题的探究全水聪(内蒙古包头市第九中学内蒙古包头014010)【摘要】在解析几何中，椭圆、双曲线和抛物线往往有一些相同或类似的性质．本文通过椭圆中倾斜角互补问题的引入，进行了探究并得到一般性的结论。【关键词】解析几何圆锥曲线定点【中图分类号】G633．6【文献标识码】A【文章编号】2095—3089(2014)08—0087．01引入已知椭圆c：X2+：1(a>b>0)的离心率e：—-,／2，探究二已知双曲线C：一告=l(a，b>0)的半焦距为ab、2左、右焦点分别为F1和F2点P(2，)且点F2在线段1的中C，左、右焦点分别为F1和F2，设直线三：y=

2、kx+m(后≠0)垂线上。与双曲线C交于M和N两点且直线F2与的倾斜角互(1)求椭圆C的方程；(2)设直线三：y=lcc+m与椭圆C交于补。求证：直线L恒过定点，并求该定点的坐标。M和N两点，直线F2与F2Ⅳ的倾斜角互补。求证：直线证明：把直线方程=+代入双曲线一善：1(口，6>0)L恒过定点，并求该定点的坐标。中，整理得(b一aZk)一2kma—a2m一口6=0，易矢口△>0．解：(1)椭圆的方程为等+：1．设点M(，)，．占、Ⅳ()，则有X1+X2~·(2)由题知直线L的斜率存在。把直线方程y=kx+m代入2椭圆Xy2=l中，整理得(2j}+1)x+4+2m2—2=O，且=z且==警==警

3、．易知A>0．‘因为直线FgM与Ⅳ的倾斜角-~-*b，则+k．v=0，即()，I籼(2)+一=2-+(一妇)(+)一2c=0，代入可得2·—_a2m~_a2b22kmaZ(m-kc)且箬=警．—一2mc=O,所以=～等，则直线三的方程为因为直线与的倾斜角互补，则+=0，即y=k眦直缌巨航，点所对应的准2kx~x2+(X1"l-X2)-2m=0,所·一4km(m-k)线与轴的交点。一2m=0，则m=2k，那么直线方程为y=k(x一2)，因此直线L恒探究三已知抛物线c：=(0)的焦距为，焦点为过定点且坐标为(2，O)．下面我们作一般性的探究与证明。F。设直线三：y=kx+≠0)与抛物线C交于M和N

4、两点且直线FM与FN的倾斜角互补求证：直线L恒过定点，并求探究一已知椭圆c：事+=1(口>6>o)的半焦距为Cj定点的坐标。。左、右焦点分别为F1和，设直线三：y=kx+m(k~O)与椭圆证明：把直线方程y=kx+m代入抛物线y2_2>O)中，C交于和N两点且直线与F2N的倾斜角互补。求证：整理得kZx+(2km一2p)x+m=0，且易知△>0．直线L恒过定点，并求该定点的坐标。m2设点(l，)，点Ⅳ(，)，则+=丁2p-2kinX1~X2=证明：把直线方程．y+代入椭圆X2y2+=1>6>0)且‰=：鱼kEN=卫=—Icx2+m—中，整理得(口七十b2)+2kma+a2m一a：b=0，且易知

5、，．A>0．因为直线FM与FN的倾斜角互补，则置+％Ⅳ==0，即讽最M()，点Ⅳ(2)+一=2+(一kc)(xl+)一2mc=0，代入上式可得2．石mz+(m-kc)(2p-2km)——一一2mc=O,所以=尼．了P——则直线上的方程为且=：警==等．，因为直线FzM的倾斜角互补，则+：0，即=(+，因贼最(一詈，。)，即准线与轴的竞最坐标。2],~1X2"t-(一)(X1"~X2)-2mc=0,"代入可得2

6、i}．a2m2_a2b2一结论：设直线y=kx+m(k~0与圆锥曲线C交于M和Ⅳ两点，若对于轴上的点F(xo,O)(Xo≠0)满足直线FM与2kma2(m-kc)—一2mc=O,所以=一

7、等，那么直线三的方程的倾斜角互补，则直线必恒过定点fx，0l~(-xo，0)。特别o／』为目此直线恒虢，即焦点所对应的地，当点F为圆锥曲线的焦点时，直线L恒过相应准线与轴的交点。．87．