解析几何中“定点”问题的探究与变式

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1、试题研究>试题探究数学教学通讯(教师版)投稿勰籀：sxjk@vip163com解析几何中“定点’’问题的探究与变式肖骁锵趟对过柏磷特何量定龟傍进行厦门戈外国语学校361003一一一一一舯一解析几何探究性问题具有一定的深恒过定点(2p，0)．(y2-t)=0．度和广度．能体现数学素质以及思维的发方法2设A(a2，2pa)，曰(626)，因为yl≠￡，Y2≠￡，所以(yl村)(y2+￡)：散性，反映数、形运动变化的特点，有利于则由／_AOB=90。得．=0，得n·2pb+Q所以t2_8mr+96=Q所以A=64m--4X培养学生的创新意识．“定点”问题的探2pa

2、2·2pb=0，即n6—1．再由直线Z：一2p961>0．所以m≥＆究可以反应解析几何探究性问题的思想所以当m≤一或m≥v百时，存方法．定点问题的解决方法有直接法(即盖(铀-~a2)，在点D使得△ABD是以AB为斜边的直角由已知条件直接求解)、特殊值法(即从特即(叶6)广一2p一因~ab=-I，三角形．殊值入手找出符合条件的定点，再证明该所以(a+b)y+，即(n+6))，一2p．故直57,结论符合一般性)、几何法(根据圆锥曲线线A日恒过定点(2P，0)．．m2>2，所以当一、／百

3、．变式1已知直线x+my+4=O(mER)下面，笔者从一道高考试题进行变式引与抛物线=交于A，B两点，那么在抛物在．申．对“定点”问题探究与变式．线C上是否存在点D，使得AABD是I)2AB变式2过点D(5，一2)作直线1与抛物倒设A，曰是抛物线y=上的点，且为斜一边的直角三角形?若存在，求出m的线E：y~=4x交于不同的两点B，C，设曰C的满足厶4OB=90。(0是坐标原点)．求证：取值范围：若不存在，请说明理由．中点为Q，问：曲线E上是否存在一点A，使直线AB过定点。并求此定点．解设直线卅+4=0与曲线C交于点~IAQ[=lcI恒成立?如果存在，求出分析

4、从已知条件入手．用两点式设经过A．B的直线方程．利用AOB=90。的y1))’自{’得8点A的坐标：如果不存在，请说明理由．条件转化为斜率关系或者向量关系。简化32=0．解设曲线E上的点A(0，b)，B(xl，Y1)，方程得到恒等式．求出定点坐标．由于一元二次方程有两个不等实根c(x2,Y2)，BC#点为Q，则条件IAQf=．证明方法1．设A(l，Y1)，B(2，y2)，Y1，Y2，所~,XA=64m2-4x32>0，即m2>Z则y=2pxl，Y；=2px因为OB=90。，所IBCI等价于；2BC~直径的圆过点A．所由题设可得=詈，詈一8m，以．：n又6=4

5、。，所以．：(广以一1，=-X1~72=-，l，一斗p’yfz=32．yl—却⋯)(x2-a,y2-b=(孚一。)(孚一。一若存在点D满足条件，可设D【寺，)·再由直线Z：y--y，=(1)得yl=6)(yz一6)=[(yl+b)(y2+6)+．~2-X1因为△ABD是以』4为斜边的直角三(，)，即(y2+y．))，y=—zP16]=[yf2+b(yI+y2)+6yrk~2角形，所以·，卟广詈詈卜因为=2pxl，y,y2=-4p，所以(y2+y】)y=2p·cyc=(誓一t2)(吾一詈)+cyt．16]：[一8m一20+b·4m+b+(一2p)，即(Yl)y

6、=zP(一2p)．故直线AB投稿鼬耩：s~jk@vip、63corn数学教学通讯(教师版)试题研究>试题探究16]．yi如果B，C与A都不重合，则(，厂6)(y一共线得2PYrYo6)≠0．所以．：0恒成立等价于⋯8m(yl】)一2p。，所以yl：—byo-2pa方法2．3"-直线f的斜率存在时．设直同理，CaB，20+b(4m)+b％16=0对于任意实数m恒成立，_．线f的方程为+m，E(xl，Y1)，F(xl，Y1)，等价于6=ZM，共线得．．设yly2=y(+)一，fy=k+m．如果曰或c与A重合．．：0显然成yo由{Ax+：1得(5僦)枷m9‘立．所

7、以当b=2，a=l时，IAQI=—lIBCI恒得剖=、byo-2pa+1【95(6)＼6／y一yo(mz-5)=0，成立．px，整理得(2p一6y)·6(。)+pa·由△=(18ink)一36(5+9k)(m2_5)>0，变式3过轴上的动点A(n，O)向抛物(by-2pa)-O．所以由2px-by=O，a-x=O，by-得5+9k2-m2~0，线y=x2+1l两切线4P，AQ，P，Q为切点．2pn=0得到=n，=，即动直线lM2恒求证：直线尸p过定点．由根与系数的关系知一，解i~P(xl，Y1)，Q(2，y2)．方程+19(m2-5)的两边对求导，得=2x，

8、所以在P点处的过定．点(n，．”+9J‘切线斜率为y