浅谈解析几何中的定点与定值问题

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1、浅谈解析几何中的定点与定值问题　　摘要：解析几何是借助代数的手段解决几何问题，在教学中发现许多圆锥曲线中过定点或定值的问题，这一类问题一直是教学中的难点，学生经常无从下手，找不到解题的思路。　　关键词：验证；恒等；参数　　定点定值问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决.定值问题，关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再

2、用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果.　　一、特殊验证，一目了然　　例1.已知t∈R，圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0　　（1）若圆C圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程；　　（2）圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由.　　解：（1）圆C的方程为（x+1）2+（y-1）2=10或（x-2）2+（y-4）2=16.　　（2）当t=0时，圆C：x2+y2=45　　当t=1时，圆C：x2+y2-2x-2y=0　　解方程组x2+y2=4　　x2+y2

3、-2x-2y=0，解得x=0　　y=2或x=2　　y=0　　将x=0　　y=2代入圆C的方程，左边=-4t2+4t不恒等于0　　将x=2　　y=0代入圆C的方程，左边=0=右边　　故圆C过定点（2，0）.　　二、利用恒等，方程架桥　　例2.在平面直角坐标系中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4　　（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；　　（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1

4、截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.　　解：（1）略.y=0或7x+24y-28=0.　　（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k（x-a）（k≠0）　　则直线l2的方程为y-b=-（x-a）.5　　因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以，圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即　　■=■　　整理得1+3k+ak-b=5k+4-a-bk　　从而得1+3k+ak-b=5k+4-a-bk　　或1+3k

5、+ak-b=-5k-4+a+bk　　即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5　　因为与k取值无关，　　所以a+b-2=0　　b-a+3=0或a-b+8=0　　a+b-5=0　　解得a=■　　b=-■或a=-■　　b=■　　故点P1（■，-■）或点P2（-■，■）.　　【说明】此题要求学生综合能力强，运算能力好.　　三、约去参数，水落石出　　例3.已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的离心率为■，右准线方程为x=■　　（1）求双曲线C的方程；　　（2）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠5

6、0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值.　　【解】（1）x2-■=1.　　（2）点P（x0，y0）（x0y0≠0）在圆x2+y2=2上，　　圆在点P（x0，y0）处的切线方程为y-y0=-■（x-x0），　　化简得x0x+y0y=2.　　由x2-■=1　　x0x+y0y=2及x20+y20=2　　得（3x20-4）x2-4x0x+8-2x20=0，　　∵切线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且00　　设A，B两点的坐标

7、分别为（x1，y1），（x2，y2）　　则x1+x2=■，x1x2=■　　∵cos∠AOB=■，且■?■=x1x2+y1y2=x1x2+■（2-x0x1）（2-x0x2），　　=x1x2+■[4-2x0（x1+x2）+x20x1x2]　　=■+■4-■+■　　=■-■=0　　∴∠AOB的大小为90°.5　　一开始会觉得定点定值遵循一套固定的模式，后来发现不少学生的掌握仅仅是模仿，处于似懂非懂的状态.而在几何中过定点问题可以依据几何方法找到直观的解释，如果潜心研究，发现其几何解释，这样不仅能很好地解释过定点或定值问题，而且能让学生易于接受结果

8、，学生学习积极性会有更好的提高，对解几的运算更能接受.解决这类问题时，常运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，或用特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值，这样可确定