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时间:2019-01-07
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1、浅谈解析几何中的定点与定值问题 摘要:解析几何是借助代数的手段解决几何问题,在教学中发现许多圆锥曲线中过定点或定值的问题,这一类问题一直是教学中的难点,学生经常无从下手,找不到解题的思路。 关键词:验证;恒等;参数 定点定值问题的实质为等式恒成立,方法为待定系数法.定点问题,关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式,然后将已知量、未知量代入上述关系,通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决.定值问题,关键在于选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质,再
2、用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果. 一、特殊验证,一目了然 例1.已知t∈R,圆C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0 (1)若圆C圆心在直线x-y+2=0上,求圆C的方程; (2)圆C是否过定点?如果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,说明理由. 解:(1)圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=10或(x-2)2+(y-4)2=16. (2)当t=0时,圆C:x2+y2=45 当t=1时,圆C:x2+y2-2x-2y=0 解方程组x2+y2=4 x2+y2
3、-2x-2y=0,解得x=0 y=2或x=2 y=0 将x=0 y=2代入圆C的方程,左边=-4t2+4t不恒等于0 将x=2 y=0代入圆C的方程,左边=0=右边 故圆C过定点(2,0). 二、利用恒等,方程架桥 例2.在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4 (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1
4、截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标. 解:(1)略.y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)(k≠0) 则直线l2的方程为y-b=-(x-a).5 因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以,圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即 ■=■ 整理得1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 从而得1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或1+3k
5、+ak-b=-5k-4+a+bk 即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5 因为与k取值无关, 所以a+b-2=0 b-a+3=0或a-b+8=0 a+b-5=0 解得a=■ b=-■或a=-■ b=■ 故点P1(■,-■)或点P2(-■,■). 【说明】此题要求学生综合能力强,运算能力好. 三、约去参数,水落石出 例3.已知双曲线C:■-■=1(a>0,b>0)的离心率为■,右准线方程为x=■ (1)求双曲线C的方程; (2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠5
6、0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值. 【解】(1)x2-■=1. (2)点P(x0,y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上, 圆在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=-■(x-x0), 化简得x0x+y0y=2. 由x2-■=1 x0x+y0y=2及x20+y20=2 得(3x20-4)x2-4x0x+8-2x20=0, ∵切线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且00 设A,B两点的坐标
7、分别为(x1,y1),(x2,y2) 则x1+x2=■,x1x2=■ ∵cos∠AOB=■,且■?■=x1x2+y1y2=x1x2+■(2-x0x1)(2-x0x2), =x1x2+■[4-2x0(x1+x2)+x20x1x2] =■+■4-■+■ =■-■=0 ∴∠AOB的大小为90°.5 一开始会觉得定点定值遵循一套固定的模式,后来发现不少学生的掌握仅仅是模仿,处于似懂非懂的状态.而在几何中过定点问题可以依据几何方法找到直观的解释,如果潜心研究,发现其几何解释,这样不仅能很好地解释过定点或定值问题,而且能让学生易于接受结果
8、,学生学习积极性会有更好的提高,对解几的运算更能接受.解决这类问题时,常运用辩证的观点去思考分析,在“变”中寻求“不变”,或用特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值,这样可确定
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