解析几何中的定点定值问题

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1、解析几何专题系列二：解析几何中的定点、定值问题[考情分析把握方向]解析几何中的定值、定点、定直线问题是近几年高考命题的热点,这类问题也是高考题中的一大难点。此类问题动中有定，定中有动，并且常与轨迹问题、曲线系问题等问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识。考察数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法。高考年份填空题解答题附加题2010年第9题点到直线的距离为定值第18题证明直线过定点2011年第18题证明直线垂直2012年第19题证明定值问题[备考策略提升信心]高考中重点关注以下几方面的问题：1．直线方程、圆的方程、直线与圆及直线

2、与圆锥曲线的位置关系，重点是直线与圆的位置关系；2．圆锥曲线的标准方程和几何性质，特别是椭圆的标准方程及几何性质，同时注意它们的图形特征；3．轨迹问题求解的常用方法；数形结合思想以及函数与方程思想的应用；4．求圆锥曲线的方程的运算的要求有所提高，考查趋于方程的变形运算。[小题训练激活思维]1.已知椭圆过定点，圆，直线与椭圆交于两点，且，则直线与圆的位置关系是。相切2．若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值是。3．已知为坐标原点，定点，动点是直线上的点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，则线段的长为。4.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在右准线上运动，记直线的斜率分别为，若

3、椭圆的离心率为，则5.已知直线及点.当点到直线的距离最大时,直线的方程是.变式1：变式2：[核心问题聚焦突破]已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，点在直线上的射影依次为点。（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，，试探索当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，说明理由。[来源:学科网ZXXK]变式训练：已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，弦分别过点，设，求证：为定值.[变式拓展分类解密]考点1：定值问题例1：已

4、知点是椭圆的长轴上异于顶点的任意一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，设直线交轴于点，试判断是否为定值？并证明你的结论。变式训练1：如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线所围成的两个顶点.（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求的面积是否为定值，说明理由。⑴易求,.………2分设,则.由,得,所以,即.故点在定圆上.…8分⑵设，,则.平方得,即.…10分因为直线的方程为,所以到直线的距离为,…12分[来源:学科网]

5、所以的面积==.故的面积为定值.…16分变式训练2：已知椭圆，直线与椭圆交于两点，点，（1）求弦中点的轨迹方程；（2）设直线斜率分别为，求证：为定值.考点2：直线过定点问题例2：已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，关于轴的对称点为，问直线是否经过轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；不是，说明理由.变式训练1：如图，在平面直角坐标系中，椭圆：若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.证明：直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，==，所以直线过定点．说明：本题结论可推广

6、至一般情形变式训练2：如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1上一点P(1，)，过点P的直线l1，l2与椭圆C分别交于点A，B（不同于P），且它们的斜率k1，k2满足k1k2＝－．xyOAPl1Bl2（1）求证：直线AB过定点；（2）求△PAB面积的最大值．考点3：圆过定点问题例3：椭圆：过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由。解答：考点4：定位置关系例4：设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与已知直线交于点，试探究以

7、为直径的圆与直线的位置关系.[专题总结画龙点睛]内容总结与方法总结：：解析几何中定点、定值问题主要有以下三种题型：1．定点问题：解题关键在于找出题中用于联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式等，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。2．定值问题：解题关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中的已知量、参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质等，再用韦达定理、点差法等导出所求定值关系式所需的表达式，并代入所求定值关系式，化简整理求出结果。3