解析几何中的定值问题

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1、解析几何中的定值问题定值问题可能以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想；也可能以解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力．比如说：定点问题，定曲线问题，定方向问题，定数值问题等等.几何中的定值问题与一般几何证明不同，它的结论中没有确定的定值对象，所以探求定值成为首要任务。解决这类问题时，常运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变（定值）”，或用特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值，这样可确定探索问题的方向，从而找到解决问题的突破口，为我们提供解题的线索.定值问题可以分为定量问题和定形问题：(一)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦

2、定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。2．、是经过椭圆右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦，求证：：是定值解析：对于本题，,分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有，,（定值）．下面再证明一般性．设平行弦、的倾斜角为，则斜率，的方程为代入椭圆方程，又∵即得，另一方面，直线方程为．同理可得由可知（定值）（注意时的情况）（关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）3．如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线

3、AB的斜率是非零常数.（I）当时，又抛物线的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为由，相减得,故同理可得,由PA，PB倾斜角互补知即,所以,故设直线AB的斜率为,由，,相减得所以,将代入得，所以是非零常数.(二)定形问题：定形问题是指定点、定角、定向、定曲线等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，定曲线实质上是轨迹问题.5．自原点作圆：的两条不重合的弦、，若（定值），求证：不论、两点怎样运动，直线恒与圆相切.（如图）略证：所证结论等价于：原点到直线的距离恒为且在中，（圆周角是圆

4、心角的一半）6．P为双曲线上任一点，F1、F2是双曲线的焦点，从F1作的角平分线的垂线，垂足为Q，Q的轨迹是（）A双曲线B椭圆C直线D圆（定义法）延长PF交F1Q于K∵PQ为的角平分线且    ∴∴连OQ Q为F1K中点 O为F1F2中点   ∴∴    ∴轨迹为7．（2009北京理）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力

5、．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，设A、B两点的坐标分别为，则，∵，且，.∴的大小为.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴的大小为.（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.