资源描述：
《解析几何中的定值问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、解析几何中的定值问题1、（2014安徽高考）如图，已知两条抛物线，过点的三条直线、和.与和分别交于两点,与和分别交于，与和分别交于.记的面积分别为与，求证的值为定值.证明：设直线的方程分别为.把直线与抛物线联立求解得：，，.由三角形三顶点坐标面积公式得：，，所以＝为定值.注：（1）设∆ABC三顶点的坐标分别为，则;(2)原解答包含一个重要结论，三边对应平行，进而，第7页共7页，2、（2007重庆）已知F是椭圆的右焦点，在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值.证：引入椭圆的极坐标方程，.其中e是椭圆的离心率，p是相
2、应焦点到准线的距离，θ是极径与极轴的夹角.设，则,为定值.例1、设是过椭圆右焦点的一条弦，是椭圆上异于的任一点，直线分别交椭圆的右准线于两点.求证：两点的纵坐标之积为定值，并求该定值.分析：此题若按常规方法设立坐标求解，将会异常困难，不妨从平面几何的角度考虑.角平分线的性质：如图1，ΔABC中，若AM平分∠ABC，等价于,同理若AN平分∠BAC的外角∠BAD，等价于.第7页共7页图1解：如图2，延长交于，延长交于C，连FM，下证FM平分∠PFA的外角∠QFA，设A´,P´为A，P在上的射影，则，所以FM为∠PFA的外角平分线
3、，即FM平分∠QFA，同理FN平分∠PFB的外角（即FN平分∠QFB），从而∠MFN=90º.设交轴于K，则，从而为定值.图22、A为椭圆上一个定点.过A任作两条互相垂直的弦AB，AC.证明直线BC通过一个定点.证：我们平移坐标轴，使得A为原点.设过A的已知曲线方程为.(1)过原点A，所以没有常数项.设直线BC的方程为.则过B，C两点的直线AB，AC的方程是第7页共7页((2)的左边是的二次齐次式，所以它表示两条过原点A的直线.而B，C的坐标均适合(2)，所以(2)表示AB，AC).因为AB，AC互相垂直，所以(2)作为的方
4、程，两根之积为－1，即，整理为.比较(2)与(3)，得直线BC经过定点.3、如图,已知是圆O:与x轴的两个交点,P为直线上的动点,与圆O的另一个交点分别为.证明:直线MN过定点,并求出定点.证:设.则.设.代入得第7页共7页.由韦达定理得代入(1)式并整理得.当或m=4(舍).当时,直线MN即为AB.所以,直线MN过点(1,0).另证:设直线MN与轴的交点为K(m,0),因为P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）,.4、：已知分别为椭圆的左右顶点,P为椭圆右准线上任一点,连接分别交椭圆于M,N两点,求证:直线MN恒过椭圆的右焦
5、点.证:设MN所在直线为,由.同理有,由,第7页共7页联立直线MN与椭圆,得,由韦达定理有,,代入(3)得,.所以直线MN恒过椭圆的右焦点.例5：已知F为椭圆的右焦点,过F作两条互相垂直的弦AB,CD,设M,N分别为AB,CD的中点,求证:直线MN恒过定点,求出定点坐标.证明:设AB所在直线方程为:,联立求解得当斜率不存在时,直线MN即为x轴.令y=0,.直线MN恒过定点.注:此题不难,难在最后想到令y=0,因为当斜率不存在时,直线MN即为x轴.第7页共7页例6.已知的三个顶点在椭圆上,坐标原点O为的重心.证明:的面积为定值
6、.证法(一):令.则.由点C在椭圆上,代入得.另一方面(定值).证法(二):记的面积为S.对椭圆进行相应的仿射变换:.变换后椭圆变换成单位圆,椭圆内接变换为单位圆内接正三角形.由仿射变换性质得(定值).第7页共7页
