解析几何中恒成立问题，定点定值问题，最值问题的思考

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1、关于解析几何中恒成立问题，定点定值问题，最值问题的思考长泾中学高二陈立新解析几何是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，填空题和解答题均有涉及，所占分数在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，以圆锥曲线为载体，涉及数与形，形与形，数与数的转化关系，主要涉及位置关系的判断，弦长问题，最值问题，对称问题，轨迹问题等，对运算能力，逻辑推理能力，综合分析能力和一些重要的数学思想方法的应用要求比较高，且题型灵活多样．特别是江苏的高考，两个C级要求“直线方程”，“圆的标准方程与一

2、般方程”在近几年的高考中已经屡次出现，且也难推陈出新，所以在去年高考中以椭圆为基础，考查了轨迹，直线及交点，定点等问题，这与“考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法”是不谋而合的．【案例】（江苏2010高考18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考

3、查运算求解能力和探究问题的能力.(满分16分).（1）所求点P的轨迹为直线.（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，直线NTB方程为：.联立方程组，解得：，所以点T的坐标为.（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即.分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、.（方法一）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）.所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）.若

4、，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点.因此，直线MN必过轴上的点（1，0）.该题第3问考查了一个直线经过定点的问题，采用了两种方法（1）找到定点给出证明；（2）直线变化过程中与参数或变量无关．事实上，解析几何中恒成立问题，定点定值问题，最值问题都是与变量相关的一类问题，恒成立问题与定点定值问题经过运算，转化成与变量无关的问题，最值问题与轨迹问题经过运算，转化成与变量有关的问题．解答过程应该找到变化原因，设为变量或参数，以此为基础，把问题中的直线与圆方程，函数的表达式，动点的坐标用变量或参数表示出来，解决相关问题．【几个

5、思考题】1、已知圆：，点，直线．（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）若在直线上（为坐标原点）存在定点（不同于点），满足：对于圆上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标．2、已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．(1)求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；(2)当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．3、已知圆：，一动直线l过与圆相交于、两点，是中点，l与直线m：相交于.（1）求证：当l与m垂直时，l必

6、过圆心；（2）当时，求直线l的方程；（3）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.