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《推荐：解析几何中定值和最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、定值和最值1.已理椭雪中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于/、B两点，OA-^OB与方=(3,-1)共线。(I)求椭圆的离心率；(II)设M为椭圆上任意一点，且阪=2刃+“丙(入“wR)，证明才+/?为定值.(I)解：设椭圆方程为二+茶=l(a>b>O),F(c,O),贝ij直线AB的方程为尸x-c,CT方_化简得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0令A（x^y{B（x2,y2）f则+x22a2ca2+h2a2c2-a2b2由OA+OB=（x,+x2,y}+y2）>S=（3,-1）,OA+OB与万共线，得3(y+，2)+
2、(X[+兀2)=°，又X-c，y2=x2-c,••-3(Xj+x2-2c)+(xt+x2)=0,・・・西+龙二虫，即芈二二竺，所以a2=3b2,.・・c二如_戻=畋,故离心率为心~223322(II)证明：由(I)知a2=3b2,所以椭圆二+厶=1可化为x2+3^2=3b2.a肝设OM=（兀，刃,由已知得（x,y）=A（xl9y1）+jU（x2,y2）,pc=銘+pXj…1尹=创+妙2・在椭圆上，・•・（為+妙2）2+3（创+妙2尸=3b=即才（兀；+3y~）+“2（卅+3加）+2弘（兀』2+3尹必）=3,・①由（I）知X.4-x2=—,a2=—c2,b1——c21-222
3、3-c8X（X2+3尹］尹2=旺+兀2+3（兀1_C）（A：2_C）=4兀］兀2一3（兀1+兀2）C+3c23292q2=—cc+3c12=0.又xj+3卅=3胪，球+3处=3戸又,代入①得才+/?=1故才+“？为定值，定值为1.2.已知点尸为圆QM:(x+272)2+j2=48的动点，圆心为M,定点N(2y［2ft),PN的中垂线与MF的连线交于点0•(I)求点0的轨迹『的方程；(II)已知点C(3,l),动直线2交点0的轨迹『交于A,〃两点，且CACB=0,试探究直线A〃是否过定点，若过定点求出定点坐标，若不过定点则说明理由.解：(1)依据题意：QM=QN,A
4、QM+QN=MP=4a/3>MN,由椭圆定义知点M的轨迹『为椭圆，2a=4^3,a=2V3>又c=2込,b=yja2—c2=2,方程为—=1124(2)当/斜率存在时，设l:y=kx+b设4(心，几)，B(x29y2),则石•CB=(xr-3)(兀2一3)+(几-l)(j2-1)=0即(兀[一3)(兀2一3)+(kxx+b—)(kx2+方一1)=0(k2+[)兀1工2+(kb-k-3)(Xj+兀2)+(方一[尸+9=0探6分y=fcr+〃代入十+3严一12=0得:-6kb所以有3b2-121+3/(l+3k2)x2+6kbx+3b2-12=0,代入※得：(1
5、+k2)(3b2-12)-6(kb-k-3)kb+[(b-1)2+9](1+3*2)=0整理化简得：2沪+(%-1妙+加一1=0,解得：b=-3k或者b=_^~2方=l-3k时，直线l:y=kx+b化为：y-l=k(x-3)xt定点(3,1)(舍去)。b=-3节1时,直线2:丿=滋+〃化为：丿+£=比(兀一孑)过定点(刍,一£)12分22222当/斜率不存在时，设x=m(m3),A(m,j0),,JU!jC4-Cfi=(m-3)(加一3)+(儿一1)(一几-1)=0(m一3)(加一3)+1-儿2=°,又m24-3j()2=123/.2m2-9m+9=0,解得：m=3(舍去
6、)或m-—2131直线IIX=—也过定点(—9)2221.已知抛物线定直线Z:x=-2,定点P(2,0),过直线2上动点。做与/垂直的直线与P0的中垂线交于点M。(I)求点M的轨迹「的方程；(II)已知点C(2,4),直线x=ay^b交点M的轨迹『交于A,〃两点，点N在线段AB上，且CACB=0；试探究直线AB是否过定点，若过定点求出定点坐标，若不过定点则说明理由。解：(I)依据题意点M到定点尸(2,0)的距离与到定直线/:x=-2的距离相等，由抛物线定义知点M的轨迹「的方程为j2=8x；(II)①设AgyJ,B(x2,j2),则CA・CB=(X1-2)(x2-2)+(y.
7、-4)(j2-4)=0即(ayr+”一2)(好2+〃一2)+(几一4)(儿一4)=0(a2+l)yiy2+[(ab-2(a+2)](儿+y2)+(b-2)2+16=0^■x=zzv+h由]2得：j2-8aj-8&=0,y=8xA=64[a2-i2]>0所以有
