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1、一种神奇的解法——高考试卷解析几何中的求过定点问题yxOAB高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有三点：（1）知道或接触过此方法的人特别少。（2）运算量少（从而出错机会少）。（3）联立方程不是消元，而化为齐次式（估计您从未见识过）。原理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；设直线AB方程为①曲线方程为=0②（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双
2、曲线、抛物线，若倾斜必含有项，即）将①化为代入②（目的使②中所有项化为二次齐次式）得： ③显然③是一个二次齐次式，且一定可化为 ④④中的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为。由韦达定理知。从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。例1.抛物线,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过轴上一定点。（当然已知条件也可以这样表达，抛物线和直线AB与相交与A、B，且OAOB。）分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得
3、出AB的性质，进而得出定点。解：设AB：(显然AB不能横着）①抛物线：②①化为代入②（目的化为二次齐次式）得即③③可化为其中又（因OA与OB垂直），AB恒过点（2p．0)说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！例2。点p(，)是抛物线上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。分析：注意到PAPB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。解：平移坐标系，使P为原点，则点P点O抛物线旧坐标系新坐标系在新坐标系下，设AB:①抛物线可化为②（注意常数项肯定为0，因为抛物线过原点P，故没有必
4、要关注常数项）把①化为代入②得可化为其中，。。AB：，即AB在新坐标系过点在原坐标系过点。此题若用常规法，运算量很大。解法如下：设直线AB：代入抛物线方程得：整理得：，设A、B两点坐标分别为，则，又③整理得:（这一步写出容易，算出来还真不容易！）AB：小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2旧P，新P，所以移轴公式为其中为新坐标，与之对应的为同一点的旧坐标，所以O新坐标为。抛物线即直线AB在新系下过点，则在旧系下过点。下面用这个神奇的
5、方法，小试牛刀地解高考压轴题。例3。（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.解析:(1)略：椭圆的方程为.(2)：平移坐标系，使点P为原点,则点P点O直线椭圆点F旧X=4新X=3设在新系下，AB：（显然直线AB不可能竖着），可化为①椭圆方程可化为： ②把①代入②，化为齐次式:上式可化为：又直线AB过点F,注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！其中，.易求故，故存在常数使得恒成立。例4。（2013年高考陕西卷
6、（理））已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.(Ⅰ)略，(Ⅱ)分析：轴为平分线.故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。解析：平移坐标系，使点B为原点，则点B点O抛物线旧坐标系新坐标系在新坐标系下，设PQ；（显然AB不能横着，故设成这种形式）可化为：代入（目的是化为齐次式）可化为:其中A=,轴为平分线，即B=0从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。例5。（2012高考真题重庆理20）如图，设椭圆的中心为原点
7、O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形.求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程解析：（Ⅰ）离心率为，椭圆的标准方程为（Ⅱ）平移坐标系使点为原点，则点点0点椭圆旧坐标系（2，0）（0，0）（-2，0）新坐标系（0，0）（-2，0）（-4，0）设直线PQ方程为可化为了①椭圆方程可化为②把①代入到②得：上式可化为其中又PQ直线过点，故,
