解几中过定点问题

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1、.解析几何中过定点问题探究数学组冯立华2015年10月一、直线过定点问题在直线方程中有一类含有一个参数，且该参数影响到直线的斜率，则要考虑直线过定点。一般有以下方式求出定点：1.点斜式法：注意：将直线方程化成的形式，则定点坐标为.例1：已知直线（为常数，为参数），不论取何值，直线总过定点2.分离系数法：注意：若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分离出来，化为的形式.由解出和的值，即得定点坐标.例2：无论取何实数，直线恒过定点，此定点坐标为3.特殊值法：注意：取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点后，在验证交点坐标也适合所给直线方程.例

2、3：无论取何实值，所表示的直线恒过一定点，此定点坐标为二、有关圆锥曲线中的直线过定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。例1：设A、B是抛物线（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB经过一个定点。证明：（1）设A（）、B（），则，。∵=，∴为定值，..也为定值。（2）∵，∵，∴∴直线AB的方程为：，∴直线AB过定点（2p，0）。CxyOFBA图2例2：设抛物线（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于

3、A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC连结AC与EF相交于点N，则，，由抛物线的定义知：

4、AF

5、=

6、AD

7、，

8、BF

9、=

10、BC

11、，∴...点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法　较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，

12、几何法的采用，源于思维的深刻性。练习：已知椭圆上的两个动点及定点，为椭圆的左焦点，且，，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.补充：一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次式（亲，估

13、计您从未见识过）。yxOAB一、引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；设直线AB方程为①曲线方程为=0②（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有项，即）将①化为,②化为③将代入③（目的使将③中所有项化为二次齐次式）得：　　④显然④是一个二次齐次式，且一定可化为　　即：⑤。⑤中的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为。由韦达定理知..从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的

14、性质。下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。二、应用举例例1.抛物线,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过轴上一定点。分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。解：设AB：(显然AB不能横着）①抛物线：②①化为代入②（目的化为二次齐次式）得即③③可化为其中又（因OA与OB垂直），AB恒过点（2p．0)说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”

15、。例2。点p(，)是抛物线上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。分析：注意到PAPB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。解：平移坐标系，使P为原点，则点P点O抛物线旧坐标系新坐标系在新坐标系下，设AB:①抛物线可化为②..（注意常数项肯定为0，因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项）把①化为代入②得可化为其中，。。AB：，即直线AB在新坐标系过点在原坐标系过点。说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：设直线AB：代入抛