对一道“探究问题”的再探究

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1、对一道“探究问题”的再探究扬中市外国语学校潘金城蔡雪梅探究性问题对培养学生的创新与实践能力已成为人们的共识,但因在考试中涉及其内容却较少，所以在教学中这些内容往往被一些教师所淡化。教材所给出的探究性材料它具有实践性、趣味性和探究性等特点，为培养学生的思维能力和创新意识提供了优秀的素材，因此对待“探究性”问题既要重视、又要开发，更要创新。下面就苏教版几何第一册探究性问题“一个对称实例的引伸”进行进一步的探究，试图探讨解决“最短路线”这一类问题的一些基本规律。问题：要在河边（直线L）建一个水泵站，分别向A、B两村送水。水泵建在何处可使所用水管最短？这是利用作对称点的方法确定水泵的位置,从

2、而设计出最佳路径，为人们提高了经济效益和工作效率。课本从如卜•两方面作了引伸：（1）将一条宜线改为两条直线（相交或平行），怎样确定最近路径？（2）将两个点改为一个点，怎样确定最近路径？并给设计了三个问题。木文在此基础上再提出一些新的问题，与读者共同探究。探究一：将直线改为三角形，探究内接三角形的最小周长问题1如图1,P、Q是AABC屮AB、AC边上的两点，请在BC边上确定一点M使得APOM的周长最小?图1问题2如图2,P是AABC屮AC边上的一点，请在AB、BC边上分别确定点M、N使得APNIN的周长最小？问题3能否在AABC的三边AB、BC、AC上分别确定点P、Q、R使得APQR的

3、周长最小？（《屮学数学教学参考》已有文章解决）若将三角形改为其它封闭的多边形，采用同样的方法，也可解决类似的问题。探究二：将同侧两点改为异侧两点，将一条直线变为多条直线，探究最短路径由“两点之间线段最短”可知：当点A、B在直线L的异侧时，连结AB两点Z间的线段与直线L的交点P,满足PA+PB最短。根据这样一个事实，可探究出下列问题：问题4如图3,李庄和张庄Z间隔了一条小河，河岸a、b平行，耍在这条河上架一座与河岸垂直的桥，使两村Z间的路程最短，问桥应架在何处?（图3是由“点A”与“直线b”同时向上平移“河宽”长而得到）问题5如图4,煤矿A与城市BZ间隔了两条河，为了使A矿和B城市Z间

4、的行程最短，在这两条河上架桥时，应该将桥设于何处？此类（在河岸的同侧）最短路径的求法，不同于问题屮所给出的方法,它主要利用“两点之间线段最短和平行四边形的性质”等知识解决探求问题的解决最优化方案，进一步的体现了“转化”数学思想。探究三：将平面问题改为空间问题，探究空间中的最短路线问题6如图5（甲）,在茶杯（圆柱体）里A点有一只小虫想爬到杯外B点，请你设计一条小虫爬行的最短路线.C1IDABA将圆柱的侧面展开转化为平面图形（图5乙），即在直线L的同侧有两点A、B,在L上确定P使得PA+PB最短？（方法与问题中的解法相同）,在此进一步体现了空间转化为平面的数学思想。问题7如图6,—个房间

5、长为7米，宽为5米，高为4米，在一角A处有一只蚊子，G处有一只壁虎，壁虎想迅速袭击蚊子，请指岀它出击的最短路线。AD将侧面AAiBiB、AAiD.D分别展开为面A】BP、D

6、A

7、P2.DD%则P]C]=J（5+4）2+72"1.4（米,P2C!=7（4+7）2+52«12.1（米）P?Ci=7（5+7）2+42«12.6（米）所以最短路线为ClPlo生活实际中存在许多类似最短路线的问题，如果我们能善于探究，勤于思考，让学生在生活屮学到知识，在知识中体验生活，那么就一定能提高学生的应用数学知识解决实际问题的能力。