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1、对一道经典习题的探究湖北省应城市汤池中学唐银农倡导探究的学习方式是新课改的基本理念之一。在习题教学中，如果善于引导学生做完习题后再从横纵两个方而进行探究，把习题拓展延伸，就会激发学生的学习兴趣，拓展学生的思维空间，培养他们的创新精神和实践能力，从而使学生在学习中得到主动发展。下面是笔者引导学生对一道经典习题探究的结果，供读者参考。习题如图1,和002外切于点P,AB是（M和GM的公切线，A、B为切点.求证:PA丄PB.（原人教版初中《几何》第三册皿彳例4）一、延伸结论上述问题的证明并不困难，在证明之余，我们延长AP、BP分别交两圆于F、E,则冇以下结论（1）PA2=PB•PE；（2
2、）PB2=PA•PF；（3）PA2:PB2=Rt:R2（RkR2分别表示©0】、的半径，下同）.下面给出（1）、（2）、（3）的简要证明.连结AE,由PA丄PB知,AE是（DO】的直径,于是ZEAB=90。，所以PA2=PB•PE.同理PB2=PA•PF.xPA2:PB2=PB•PE:PB2=PE:PB,易证PE:PB=R!：R2.所以(3)也成立.二、拓展命题图22-2对于上述命题，我引导学生作这样的思考：当直线AB与两圆的位置关系发生变化或两圆位置关系变化时，是否有类似的结论呢？经过探究，得到下列命题.命题1如图2,001和（DO?相切于点P,—直线经过点P和两圆相交A、B,则
3、(1)ZAPB=180°(图2-1),ZAPB=O°(图2-2)(2)PA:PB=Rl:R2.命题2如图3,OOi和（DO?相切于点P,—直线和（DO】相切于A,和（DO?相交于B、C,AP、BP、CP交两圆于G、F、E,则(1)ZAPB+ZAPC=180°(图3-1),ZAPB=ZAPC(图3-2)；(2)PA2=PB«PE二PC^F；(3)PB•PC=PA•PG；(4)PA2:PB・PC=R:R2・命题3如图4,OOi和00?相切于点P,—直线和两圆相交于A、B.C、D,AP、BP、CP、DP交两圆于H、G、F、E,则(1)ZAPC+ZBPD二180°(图4-1),ZAPC二Z
4、BPD(图4-2)；(2)ZAPD+ZBPC=180°图44-2(图4-1),ZAPD=ZBPC(图4-2)；(3)PA-PB二PC•PE=PD•PF；(4)PC•PD二PA•PG=PB•PH；（5）PA•PB:PC•PD二RiR・命题4如图5,OCh和O0?相交于P、Q，一直线经过点P和两圆相交于A、B,则（l）ZAPB=180°（图5-1）,ZAPB=0°（图5-2）；(2)QA:QB=Ri:R2.命题5如图6,(DO】和(DO?相交于P、Q,一直线和两圆相切于A、B、AP、BP.AQ、BQ交两圆于F、E、H、G,则(1)ZAPB+ZAQB=180°；(2)PA2=PB•PG；
5、(3)PB2=PA•PH；(4)QA2=QB•QE；(5)QB2=QA•QF；(6)PA2:PB2=QA2:QB2=Rt:R2.命题6如图7,和(DO?相交于P、Q,一直线和相切于A,和OO2相交于B、C,AP、BP、ClAQ、BQ、CQ交两圆于G、E、N、H、M、F,则AQB(图7-2)；(1)ZAPC+ZAQB二180°(图7-1),ZAPC=Z图7(2)ZAPB+ZAQC二180°(图7-1),ZAPB=ZAQC(图7-2)；(3)PA2=PB•PF二PC•PM；(4)QA2=QB•QN=QC•QE；(5)PB•PC=PA•PH；(6)QB•QC=QA•QG；(7)PA2:
6、PB•PC=QA2:QB•QC=Rt:R2.M8-18-28-3图8命题7如图8,和GM相交于P、Q,一直线和两圆相交于A、B、C、D,AP、AQ、BP>BQ、CP、CQ、DP、DQ交两圆于G、H、M、N、F、S、E、T,则（1）ZAPC+ZBQD二180°（图8-1）,ZAPC=ZBQD（图8-2、8-3）（2）ZAQC+ZBPD二180°（图8-1）,ZAQC=ZBPD（图8-2、8-3）；（3）ZAPD+ZBQC=180°（图8-1、8-2）,ZAPD二ZBQC（图8-3）；（4）ZAQD+ZBPC=180°（图8-1、8-2）,ZAQD二ZBPC（图8-3）；（5）PA•P
7、B二PC•PT二PD•PS；（6）QA•QB二QC•QE=QD•QF；（7）PC•PD=PA•PN=PB•PII；（8）图9QC•QD=QA•QM=QB•QG；（9）PA•PB:PC•PD=QA•QB:QC•QD=Rt:R2.命题8如图9,00】和。0三相交或外离，一•直线和两圆相切于A、B,连心线交两圆于C、P、Q、D,则（1）AP丄BQ,AP〃BD（图9-1、9-2）,AP丄BD,AP〃BQ（图9-3）；图10（2）AC丄BD,AC〃BQ（图9-1、9-2）,AC
