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1、基于一道经典习题开展数学探究教学摘要：数学新课程标准倡导积极主动、勇于探究的学习方式。在课堂教学实践中，要求教师对日常的课堂教学例题或习题要进行认真的筛选，精心的分析、探究，引导学生主动参与探索，从而达到培养学生的探究能力。本文是笔者在一次课堂教学中真实的探究。关键词：数学学习；习题；探究教学中图分类号:G712文献标识码:A文章编号:1992-7711(2012)19-092-2习题在直角坐标系xoy中抛物线y2=2px(p>0)上有两个动点A、B,且满足zAOB=90°(O为坐标原点)b求线段AB中点M的轨迹方程。分析在高中数学教学中，建立动点的轨迹方程的本质就是建立动点的横坐标x与纵坐标
2、y之间的关系式。一是根据已知条件直接建立动点的横坐标x与纵坐标y的方程；二是引进参数t,用参数t分别表示坐标x,y,然后再消去参数建立x,y之间的关系。一、在问题解决的过程中进行探究要真正开展探究，不能只是重视结果，更要关注解题方法和思路的形成过程，在过程中要给学生时间和空间。1.思路一：用参数方程的思想建立轨迹方程探究一设直线AB的方程，然后用直线方程中的斜率或截距等参数表示动点的横坐标和纵坐标，最后消去参数建立轨迹方程。分析(1)若线段AB的斜率不存在时，则A、B关于x轴对称，即0B的直线方程为y=x,由y=x,y2=2px,解得x=2p,y=2p，即A(2p,2p),所以线段AB中点M的
3、坐标为(2p,0(2)若线段AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+b,A(x1,y1XB(x2,y2),线段AB中点M(xO,yO),则yO=kxO+b,由nAOB二90。,所以x1x2+y1y2=0o再由y=kx+b,y2=2px，消去x得ky22p-y+b=0,则y1+y2=2pk,y1y2=2pbk,由y2仁2px1,y22=2px2，所以x1x2=y21y224p2=b2k2,又由x1x2+y1y2=0,得b=-2pk,又yO=kxO+b,所以yO二k(x0-2p)(1)，而yO=y1+y22=pk(2),(1),(3)得y20=p(x0-2p),所以线段AB中点M的轨迹方程
4、为y2=p(x-2p)b点拨本题所求的动点是AB的中点，所以可将问题转化为直线AB与抛物线的位置关系来处理，利用一元二次方程根与系数的关系，直接表示出中点M的横坐标和纵坐标与直线AB斜率k之间的关系，然后再消去参数k,从而建立中点M的轨迹方程，此种方法称为参数法。参数法解题的关键是如何假设参数，本题是否换个角度假设参数来求解呢？学生思考探究出如下解法。探究二设直线0A的方程为y=kx,则直线0B的方程为y=-1kx,用参数k求出点A、B坐标，然后表示中点M的坐标，最后消去参数建立轨迹方程。分析设AB中点M(x,yL由OA±OB,设直线OA的方程：y=kx,则直线OB的方程：y二1kx。由y=k
5、x,y2=2px,消去x得y2=2pky,所以A(2pk2,2pk同理将k代换为-1k，得B(2pk2,-2pk),则x=pk2+pk2,y=p(1k-k),消去k得y2=p(x-2p所以线段中点M的轨迹方程为y2=p(x-2p)b点拨由于OA丄OB,设OA的斜率为k,则OB的斜率为-1k,从而可以求岀A、B两点坐标，进而求岀中点M的横坐标、纵坐标与斜率k的关系式，然后再消去参数。此两种方法都称为参数法，其实本题能否根据已知条件,找到与动点有关的等量关系式来建立轨迹方程呢?2•思路二：将已知条件转化为关于动点的等量关系式探究三将条件^AOB=90°，转化为动点OM=d2AB，然后用两点距离
6、公式直接表示，建立方程。分析当直线AB斜率不存在时，求得中点M的x=2po当直线斜率存在时，设拋物线上的动点A(x1,y1XB(x2,y2),中点M(xO,yO),则y21=2px1,y22=2px2,(y1y2)2=4p2x1x2o由y21-y22=2p(x1-x2),所以kAB=y2-y1x2-x仁2py4+y2二pyO,由nAOB=90。,所以x1x2+y1y2=0,则y1y2=-4p2,x1x2=4p2o又由zAOB=90。,所以OM=d2AB。而OM=x20+y20,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2AB
7、x1-x2
8、=1+k2AB(x1+x2)2-4x1x2=1+p
9、2y204x20-16p2,由OM=12AB,所以x20+y20=121+p2y204x20-16p2,化简得x20+y20=(1+p2y2)(4x20-16p2),y40+4y20p2+4p4=p2x20,则(y20+2p2)2=p2x20,由x0>0,所以y20=px0-2p2o即线段AB的中点M的轨迹方程为y2=p(x-2p点拨在我们研究的问题时，不能就题解题，有时需要我们认真研究已知条件
