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1、对一道圆锥曲线习题探究摘要：本文讨论了对一道圆锥曲线习题的探究，分析了学生解答此类型题目的具体方法，以便能为学好数学做铺垫。关键词：数学教学；圆锥曲线习题；教师；学生中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711(2013)30-0122有这样一道题：引题在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在ABB1A1所在的平面上，满足ZPDB1=ZMDB1,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线学生的一般解法是：如图建系，设正方体的棱长为2,P(x,y,z),M(0,2,1),Bl(
2、2,2,0),D(0,0,2),则■二(0,2,-1),■=(2,2,-2),■=(2,y,z-2),COSZMDB1=B=■=■,cosZPDB1=B由cosZMDBl=cosZPDB1,得：■*,化简得：2x2+2y2+2z2-5xy+5xz+5yz-10x-10y-8z+8=0（*）。因为，点P在ABB1A1所在的平面上，所以，令x=2,方程（*）变为:2y2+5yz+2z2-20y+2z-4=0；化简到此，一些学生认为：y2,z2的系数相等，应该是圆；也有一些学生认为：y2,z2的系数都为正，且含xy项,所以不是圆，可能是
3、椭圆，更有同学说由于ZPDB1=ZMDB1,所以可以理解为一个以DB1为轴，以DM,DP母线为圆锥被平面AB1所截的截线，由于平面AB1平行于母线DM,教材的章头图中说这是抛物线。还有更多的结论……那么到底如何判断呢？学生对此产生了困惑。下面我们研究二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0。我们已经知道：若二次曲线的系数满足A二CHOB二0D2+E2-4AF>0,则该曲线是圆，对于其他情况我们无从下手。定义：二次曲线F（X,y）=allx2+2al2xy+a22y2+2al3x+2a23y+a33=0（1）,令？椎（x,
4、y）=allX2+2al2XY+a22Y=0（2）,满足条件？椎（x,y）二0的方向X:Y叫做二次曲线（1）的渐进方向，否则叫做非渐进方向。因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，所以渐进方向X:Y所满足的(2)总有确定的解。如果allT^O,那么把(2)改写成all(■)2+2al2(■)+a22=0,令12二allal2al2a22,得■二■二■；如果a22H0,那么把(2)改写成a22(■)2+2al2(■)+all=O,得・=■=■;如果all=a22=0,那么一定有al2^0,这时(2)变为2al2XY=0,所以X：Y
5、=1：0或0：1,这时12=0al2al20=-al20,二次曲线(1)的渐进方向是一对共扼的虚方向；12=0时，(1)有一个实渐进方向；120；抛物型曲线：12=0；双曲型曲线：120与二次函数中"？驻”的计算一致。所以我们可以把结论记成：定理：?驻=B2-4AC0双曲型其中，椭圆型包括圆、点；双曲型包括两条相交直线；抛物型包括直线。这样记起来很方便，对符号的记忆可以通过几个特殊的曲线。如椭圆x2+2y2=l,?驻=0-80。下面回到我们的引题：由于A二2,B=5,02,?驻=B2-4AC=25-4X2X2>0为双曲线。探究1在
6、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1的中点，若点P在AD1C1所在的平面上，且满足ZPDB1二ZMDB1，求点P的轨迹。分析：如图建系，设正方体的棱长为2,P(x,y,z),易得■=(1,0,T)是平面AD1C1的法向量，则由■•■二x-z,得Z二X,代入方程(*)得：9x2+2y2T8xT0y+8二0,?驻=B2-4AC=0-4X9X2
