圆锥曲线一道经典题的探究

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1、圆锥曲线一道经典题的探究张网军江苏省姜堰中学225500E-mail:zhangwangjun@yahoo.com.cnTel:15996068551近儿年来高考试卷上解儿大题出现了不少的证明定点、定值的问题，这些问题有些是课本例习题的推广，有些是平吋复习重点题的引中。因而重视课本典型题和经典题的变式与研究，有利于提高课堂复习的效率，有利于把握高考解儿命题的方向。_一引题已知M,N是抛物线y2=2px（p>0）±的两点，R满足丽•丽=0,求证：直线MN恒过定点。这是抛物线中证叨过定点的典型例题，不少教师对它非常熟悉，并几对这一问题有许

2、多变式，如（1）证明心*为定值；（2）证明为定值；（3）求厶PMN

3、fi

4、积的最小值等等，甚至将其推广得到如下结论：定理1给定抛物线r：/=2Mp>0），点PS。,％）是抛物线「上任意一点，是抛物线「上两动点，且满足丽•顾=0则直线MN过定点T（x0+2/?,-y0）。然而，少有人将其推广到椭圆和双曲线中，可能是运算比较繁琐的原因吧。笔者借助于计算机数学软件«GeoGebra》研究其在椭鬪与双曲线中的情形，并加以证明。定理2给定椭圆E：2+厶=l（d>b>0）,点P（x0,y0）是椭I员IE上任意一点,cT是椭圆E上两动点，U.满足P

5、M・PW=0,则直线MN过定点丁”_斥h2-a2、严齐严）。22推论1给定椭圆E:冷+N=l（d>/?>0），点P是椭圆E的左顶点，M,N是椭a*—►（b?—/0)o吐上两动点，月•满足盛和"则直线诙过定点八占如22推论2给定椭圆£:冷+笃=l（a>b>0），点P是椭圆E的上顶点，M,N是椭ab)c鬪E上两动点，R满足丽•顾=0,则直线MN过定点丁（0,（叮号3+庆）研究定点、定值等问题可先猜想结论（这里辅以数学软件《GeoGebraD,在猜想中寻找解题途径，曲线与方程、函数与图象是两类不同的研究对象，它们之间有一定的联系，也存在一定

6、的区別。图彖是函数的一种表现形式，而方程是从曲线的几何特征出发，建立的曲线几何特征的代数关系表达式，用方程研究曲线，是解析几何的思想。因而下面用方程/的思想来证明定理2。/证明：设直线PM:y-y0=k（x-xQ）fT/2直线PN:y-y0=-y(x-x())K联立方程组

7、，vxM一xN(a2k2-b2)xQ-2a2ky{}(a2-b2k2)x{)+2a2ky}则X"=("“：2：/矶，代入直线PM方程得=⑹一嘗打対随同理可得N((。2一能+严诚,(以彳一中纠乎夕饥)bk+a-aa2k2+b‘2k~)y{}-Zb2kx(}(b2k2-tz2)y0+2/?2fci()a2k2+b2b2k2+a2_b~[/(/-l)y0+fcr0(a2+，)]~a20(1一疋)兀o+g(Q2+b2)j故直线MN的方程为b2[ak2—1)开)+g(/+/?2)][也2+戻)(央2—°2)一2/央仇2_呼2)_7辰2(1一

8、疋)兀0+幼o(/+b2)j兀+卩2(1-/)勺+灯0(/+/?2)](/?2疋+丁)峦形为i疔_/)儿匚戻伙2_l)yo+g(a2+b2)](亍一小无’3+/?2)a2^h2(-k2)xQ+A:y0(«2+/?2)](a2+Z?2)a2-b2b2-a2故直线MN过定点_儿)a~+b~a~+Z?-a2-h2b2-a2若直线PM或刃V斜率不存在吋，经验证同样过点T(__x0，-~儿)a~+b~a~4-/?~a2—b2b2—a2所以综上所述直线MN过定点7（^—x0A—儿）。d~+/rc「+tr将上述性质类比到双曲线中去，可得到如下结论

9、：（证明从略）22定理3给定双曲线H:^-*=l（a>0,b>0），点P（兀o*o）是双曲线H上任意一点，M,N是双曲线H上两动点，且满足PMPN=0，则直线MN过定点b2+a2、八丁二7心~儿）。a-bb-a22推论给定双曲线H:-=1（°>0,b>0）,点P是双曲线H的右顶点，M,W是erlr2j2双曲线//上两动点，且满足PMPN=0f则直线MN过定点八孕二°,0）。茁-}y对以上结论再进行深入思考，肓线PM与直线PN不垂直，直线MN是否也过定点呢？运用《GcoGcbra））探索发现如下结论：22推广1给定椭圆E:合+*=1（。

10、>“>0）,点P（珀）,），（））是椭圆E上任意一点，MW是椭圆E上两动点，且满足kPM-kPN=m（常数），则直线MN过定点〒/b，+mcfb2+ma2、T（兀0,>o）。b-mab-ma22推广2给定双曲线丹：罕-与