对平面镶嵌的再探究

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1、对平面镶嵌的再探究山东惠民皂户李乡中学　　康风星　　251717一、一种正多边形构成的镶嵌：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等二、下面我们来探索用两种正多边形镶嵌平面的条件：要用两种正

2、多边形镶嵌成一个平面的关键是看：对于某个拼结点处几个内角的和能否构成360°先从简单的两种正多边形开始探索。(1)正三角形与正方形正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：60x+90y=360即：2x+3y=12又x、y是正整数解得：x=3,y=2即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接.(如下图)(2)正三角形与正六边形正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即：60x+120y=360°即x+2y=6

3、x、y是正整数解得：即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图.(3)正三角形和正十二边形正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是150°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个150°角，即：60x+150y=360°即2x+5y=12x、y是正整数解得：x=1，y=2即：每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形。如图1（4）正四边形与正八边形如上经讨论后可得：90x＋135y=360°即x+2y=12x、y是正整数解得：x=1，y=2即：每个顶点处用一个正四角形和两个正八边形。如图2如图1如图2三、三种不同

4、正多边形的镶嵌假如用三种不同正多边形的镶嵌，必须在一个顶点处，正多边形的内角和为360度。如果正多边形的边数为N1，N2，N3且每一个顶点处，一种正多边形只有一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有这样，上式的正整数解可列表如下：根据上表，可以得到一些用不同正多边形镶嵌的图案。至于用其他更多个正多边形组成的镶嵌，有兴趣的同学，可以仿照上面的方法自己去研究。由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.结论：由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：(1)一个顶点处的各角之和为360度；（2）每个正多边形的顶点落在另一个正多边形上，正多边形的顶点重合(3)n个正多边形的边长相等，或

5、其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.