平面向量基本定理的再探究

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1、平面向量基本定理的再探究■中学数学论文平面向量基本定理的再探究甘肃漳县第一中学贺尚军平面向呈基本定理:如果山<2是平血内的两个不共线的向鼠•那么对于这一平面内的任一向虽石•有且只有唯-一对实数人

2、、心便花儿J+人*二平面向量基本定理的实质是将已知向駅向两个基向鈕方向上的线性分解。如何分解及分解后的系数儿、居的取值范围如何确怎仍然是教学中的难点.现分类做一探究。一、如何分解例1：

3、已知门、◎是不共线的向+2<>2S-2ex-e2.c=e}+e2.若厶二入几证，求实数入#的值，硏析:由诂=人b^fic,得化+2<^=2(A^fi)et+<-A+ju)e2由两向

4、虽相等的允要条件知：2'快二，解得心_亠・一人8=23【评注】大小和方向是构成向屋的两个要索•故两向虽相等的充要条件是模相等•方向相同•、彳一组向量用基向鼠表示或用坐标丧示时•可用待宦系数扶，利用两向城相等的充要条件将其线性分解a例2：如图1.四边形04Dii的对角线()1)与A“的交点为C.M、N分别是BC、CD上的点，且满足BC二3BM・设0.4=u,0B=4•试用a、b衣示向屋“、解析:7M/=-L/^=^-R4・3o66:前刼+而=fe+-L(a-6)=±-

5、^()：^dM=±-a-i-6o【评注】大小和方向是构成向量的两个要素,故两向量相等的充要条件是模相等,方向相同，当一组向量用基向量表示或用坐标表示时，可用待定系数法，利用两向量相等的充要条件将其线性分解。二、如何求儿+入2的范围探究卜•列结论：在平行四边形04防中,设亦“•亦；若巫=人也4-A^o(1)当点的线段4〃上时.Al+A2=l；(2)、”P点的△0AB内时,OcAj+AxU证明:⑴当P点在线段上时,a4P=AW,(A>0)—»»■4■A■»,A■pf.pP=0.4+4P“一人BP①•又OP=()B+RPM+〃P②由g得乔二亠九宀"，1+

6、A1+人则入i+入2=1；(2)当P点在△OAB内时•延长0P交4〃于点P(如图2)•则由(1)知,OP~ma-¥nb，其中m+n=l,设OP=AOP,则(kA

7、fAn=人2,例3：已知点P是内的一点,包括边界，若［鼻入•则实数入的取值范围是(4A.(0・4dC.(-斗444则A

8、+A2=Am+An=Ae(0,1)o卜)11(0片)44解析:•”点在A.4HC内.且包括边界•由上结论(2)知04［评注】理解向最：与入:之间的关系是求解儿+人2的范围的关键半人＞0时

9、•向疑右与扁同向；当入＜0时•向童5与備向;设s・则唏三、当A,（AJ-定时，如何确定人』人J的范围例4如图3,hAOB为等边三角形・O灯〃.4".点P在图3由射线（WQB与线段AH的延长线围成的阴影区域内（不包含边界）运动，且OP=A

10、04+A2OfioJA

11、=-卜时•求入2的取值范围解析：（1）延长乂O至以，使.40x204',过"作A0交0M于点易得10〃'1二亠10〃1・即入产苓；C,交4〃于点〃，因为儿■•所以满足条件的点P只陡在线段CD上运动（如图4）•若P点与点C审合时.过c作CH7/0A交0H于若p点与点I）車合时.过〃作CR7/0B交on

12、的延长线于化易得I"门=』10〃1・〃'即人尸°所以点在线段（:〃上壬动",亠匕^斗-•故人2的取值范审走•弓-丿。【评注】利用向量分解的平行四边形法则，将已知向量分解到两基向量方向上,利用三角形的有关知识，根据分解向量与基向量的方向和模的关系确定对应系数的范围。（栏目责任编辑：章若昆）