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1、对一道征展题的再探究重庆市云阳县江口中学校刘小辉邮编:404506《中学数学》》2014年後5期新征展栏目中，甘老师给出了如下一道开放题：题目过抛物y2=2px(p>0)焦点F的直线a,与抛物线相交于两点卩(无」)),Q(X2，〉‘2))・⑴求证：y1y2=-p2；(2)你还能发现哪些结论？文［1］作者在原题条件下，共发现了(包括原题答案)十一个结论。笔者经过进一步的探究，发现原题可以作如下推广，并获得了一新的结论，现介绍于后，与大家共享。命题如图，过点F(m,0)(m>0)作斜角为〃的直线交抛物线y?=2px(p>0)于A(xl,yI),B(x2,y2,)
2、两点，过点A..B分别作直线L:x=-m的垂线,M.N为垂足丄与X轴的交点为E,线段MN的屮点为D.连结AE'BE.MF.NF.ON.OB.贝ij92(1)x}x2=m',y]y2=-2pm,x)+x2=(2pn-+m),y!+y2=2pn.(2)AM二x]+m,BN-x2+m.2J+2pm(3)
3、FA
4、=4-p-m)4-2pm-p2,FB=J(兀]+p_m)，+2pm_p?.sin&(5)Smob=m(p2n2+2pmo(6)M、0、B三共线,N、0、A三点共线.(7)过点A.、B的切线的交点Q在直线L上.⑻k+knf=2kqf.⑼kmf•knfk".kA
5、R111(10)——+——=——kkk0()Bk()A代AB112m~r)-Tz=•kAEKAFP(12)ZAEF=ZBEF,ZEAM=ZEBN(13)4Smen=SWEB'4SWMS、fnb=S^FN(14)梯形面积SAMNB=2(p/72+2m)Jp?n?+2pm(n=cos0/sin0)证明:由已知设直线AB的方程为x二ny+m,代入y2=2pn并整理，得b・2pny・2pm=0,因此(1)y]+y2=2pn,y,y2=-2pm,又(y,y2)2=4p2x{x2tcaa%,+x2=n(^j+y2)+2m,所以x,x2=mxx+x2=2pn~+2m=2
6、(prr+m)(2)由AM丄MN,AN丄MN，AMX]=x2+m(3)因为AF
7、=Jo】一加尸=2px1?AFFBJ(x?+p-m)+2pm-p2.ABJU-兀2）2+（X-力）2，兀1一兀2=72（风一力），
8、ABV^+iXy,-^)2=7^+1J(X+儿)2-4y*2=+』4pF+8pm=+2pm/Zng⑸因为S^ob=
9、0F
10、
11、”-)?21/2=mJ4p?n?+8#加力=mJp?n?+2pm.(6)因为匕讯=_片人,&用=》2光，%=%故M、O、B三点共线，同理可证N.0、A三点共线(7)设Q(x(),y{)),则过点A.B的切线方程为y())[=p
12、(x0+x)),y0y2=p(x0+x2),两式相除(Xq+Xj)/(x0+x2)，即(儿一风)兀0=兀2歹1一兀*2.由X=ny+m,得两式相减得x2y}-X]y2=m{yx-y2),(y2-y,)x0=m(y}-y2),即x0=—%故点Q在直线x=-m上，即点Q在直线L上。因为(8)由(7)的证明可得出儿()1+旳)=#(2兀0+兀］+吃)，即Jo=Pn，因此Q(-m,pn)乡爲'所以心+—=一4+儿)%^二一〃伽*FQ=~所以"mF+*fn—2kfq(9)由⑻的证明可得K“Knf=卩%加2八因为D(-m,pn)，所以你q,。故kMFkNF—KFDkAB
13、(10)因为=(兀1儿+兀2乳)又由x=ny+m可得,所以乂y：=2px^所以为所以+加),由(10)的证明可知kAE又圻=心所以X1JS+兀「〉']=2斤少']>^+/位(》'
14、+丿2)=_2"加/?,乂=_2/?/位，所以%+%=n，/nOA/KOBk+加)叫(12)AE+%=[兀』2+兀2风+血(X+力+m)(x2+m),°(11)因为y2=(x14-m)/kae(13)MN丄AM,MN1BN.kAE+kBE=0,所以直线AE>BE与X轴所成的锐角相等，故ZAEF=ZBEF.，由AM〃x轴知ZMAE=ZAEF。同理ZNBE=ZBEF，所以ZEAM=ZE
15、BN。册小辭厂
16、am
17、
18、bn
19、
20、em一(4〃『+2pmn2)(-2pm)/m2(2m+2pn2)p，乂S爲EF(y{-y2-[xjX2+m(xl+兀2)+护2Iviy?二4加2()-旳)/^-f^2(4p2n2+8pm)4m2(2m+pn2)p由AM//x轴〃BNMFN^AAME=SzMiS、ebn=S、fbn，SmeF=AMFN9所SFBN=^MFN14SAMNB/2=(2加+兀1+兀2)®一儿)/二(2/肿+4/7?)J(X+『2)2-A=(p料2+2m)yj4p2n2+8/2/77=2(pn1+2m)yjp2n2+2pm以，梯形而积SA宓B=2
21、(附+2m)(pF+2pmo显然，当m二p/2时，上
