对一道说题比赛试题的探究

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1、教参解法探究对一道说题比赛试题的探究⑧浙江省宁波市镇海中学陈雅雅为了探索新高考方案下的课程改革对高中数学教或x=3．师的专业要求，厚实数学教师的学科底蕴，提升一线教又因为△4BC为非等腰直角i角形，所以=1，师对当前课程改革的适应能力，2014年12月18日在宁波sinc：．举办了“浙江省高中数学第二届说题比赛”．该比赛由浙10江省数学会主办，比赛形式新颖，以说题为中心，分个人(2)若CD=2，则经过同(1)类似的运算，得X2_2x+6=赛和团体赛．6道比赛问题涵盖了函数、三角、解析几何0，方程无解，故该情况不存在．所以点D是BC上的靠近点c的三等分点，以F均按等，简约而不简单，值

2、得深究．本人特别对个人赛的第2这种情况给解答．题做了如下探究．解法2：(正弦定理)由勾股定理得AD=xN-+~，AB=题目在非等腰直角AABC中，已知C=90。，D是11、／．因为c0=，所以si=__lJ一．在GABD中，BC的一个=三等分点．若cosLBAD=，求sin厶c、／5、／5的值．inB：—，利用正弦定理D一：D_即可求解．X／~2+9sinBsir】B一解法3：(余弦定理)在△ABD中，利用余弦定理D+、解法探究AB2-BD2=2AD·ABeo即可求解．该问题围绕三角形中的边角关系，可与中学教学各项2．面积视角内容相互联系．这样我们从不同视角进行思考，就能探索解法4

3、：(面积转换)由s÷曰D．AC=-~-AD·AB。多种解法．本题首先要解决的问题是判断点D的位置因为等分点有两个，故本题需分析点D的位置，讨论进行siq3即可求解，也可以根据．s战sd)+进行求解．3．几何视角求解．特别值得注意的是，在求解过程中，将涉及AC、BC两解法5：(构造相似三角形)如图个长度变量，但本题最终是求角，故在长度设定上固定某2，过点D作DM上日于点M，则在条线段的长度并不影响问题原意，不妨设BC=3，AG(>0)，从而只引入一个变量，大大简化了计算．同时为书写方Rt△A。M中，。M=A。siI=5．便，记~DAC=a，LBAD-．-43(0，{，职÷1．3L~A

4、BC一／~DBM，所以DMBD＼／=．1．解三角形视角问题得解．解法1：(两角和正切公式)分类过点作BMLAD于点，构造△A和ADBM$~似讨论：(1)若CD=1，如图1，则由题意也可解答，过程略．知t()：三4．向量视角，t眦：．因为。。：解法6：(向量坐标法)如图3，2所cr¨以rtan／3：1一建立平面直角坐标系，设C(O，0)，、／52·———A(0，X)，B(3，0)，则D(1，0)，AD=由tan(a十)=tang+tan／3一+——一+——可得x2-ax+3=0，解得x=l1-tanatanfl’(1，)，A=(3，)，AD·AB=3帆图3中7擞-?高中版⋯题壹鍪利用

5、AD·AB=IADI·IABlcosfl即可求解．面CDcos／BA。=丁2X／3-_，∈(。，]．当解法7：(向量线性运算)选取CA、cB为基底(选取A∈(0，nBA贿时，AD、AB为基底也可)，则AD=÷凹一，AB=CB'CA，所一sinD有唯一解为——一．L：~AD．·A一B=f(÷一CB一一CA1)．。(一CB-一CA)：=1-∞"-~2+---+2=3+x2．3LX／。A。2。+。2。A。+’—2—在原题的解答过程中，A依次取÷1和÷，'，分别对应JJ：耵，IJ=，利·J1．】Ic。即可求解．了两解和无解的情形．5．复数视角探究二：角度一般化分析解法8：如图4，建立复平面

6、系，(1)醐D一般化．将原题中／BAD一般化，设则点D对应的复数为z『F+i-、／r·／BAD=fl，∈(0，号)，则按结论l的类似解法，可得以下(cosot+isintx)，点BX~应的复数为zB=结论．+3i_、(c0s()+isin(ot))，结论2：：~~AABCdf，G=詈，D为口c边上的一点，且则：：(。+isi)：图4=了1，则。∈詈]．当BAD∈(。，'IT)时，f＼+i1』，即。±±：．X2+1何sin／BAD有两解；当／-BAD=_"IT时，sin／BAD有唯一解n(、x／5+x／5i)／，～i一(＼去、／5十、／15为．x％3_、丁·，综合结论1和结论2，可得

7、更一般化的结论．所以．。可得十3=4x，2x_、仃T·，结论3：在△A日c中，G=詈，D为Bc边上的一点，且、／51-A以下同解法1．E(0'1)测BA0,arctanBA。∈前面我们从不同的视角，展示了本题的多种解法，⋯就其本质来说，主要反映的是几何和代数两大基本思(。，arctanl二)时'sinBA。有两解；当BA。取最大想，解法8的复数视角虽方法不常规，但作为一种方法有佰arctal¨_】二时sinBAD有唯一解为1必要了解，因为复数往往可以解决与长度、旋转角