基于核心置顶探究--一道椭圆伴随圆问题的变式探究历程

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1、2014年第12期福建中学数学21基于核心置顶探究——一道椭圆伴随圆问题的变式探究历程周翔福建省厦门第一中学（361004）学习数学离不开解题，解题历来就被公认为是考虑到本题中ab22+=2，可作一般化推广．数学学习中最富有特征的一项活动，而解题后的研xy22结论1若点P是椭圆Ca:1+=>>(b0)究和反思工作，则显得更加重要．R·柯朗在《数学ab222222是什么？》的序言中有这样一段话：“学生和教师若的伴随圆x+yab=+上一动点，过点P作直线l，1不试图从数学的形式和单纯的演算中跳出来，以掌l，使得l，l与椭圆C都只有一个公共点，当l，l21212握数学的本质或关

2、键特征，那么挫折和迷惑将变得斜率都存在（记为k，k）时，有ll⊥(即kk⋅=121212更为严重．”特别是在解析几何复习教学中，应基于−1)．问题的核心关键式，将题目内在的探究价值放大到证明设点Pxy()，，其中x2222+=+yab，0000极致，最终达到所冀望的思维深度训练的效果．再设经过点Pxy()，，00一般说来，探究活动可从以下三个层面进行：与椭圆只有一个公共点的直线为①挖掘题目的类比价值，即改换问题中相应的ykxxy=()−+，00几何要素(点、直线、曲线)，形成新的背景，培养学⎧yk=+−xyk()x，00生发散思维；⎪由⎨xy22②挖掘题目的拓展价值，即将

3、问题结论作一般⎪22+=1，⎩ab性进行推广，培养学生归纳能力；222222消去y得到bxakxykx+((+−))−=ab0，00③挖掘题目的指导价值，即将问题的分析和解2222222即()bakxakyk++−2()xxayk+−()x0000决的方法形成规律推广，培养学生创新思维．22−ab=0，本文从一道有关椭圆伴随圆的题目入手，开启22Δ=[2akykx(−)]00变式探究之旅．2222222−4(⋅+bakayk)[(−−xab)]0=，00例1（2013年厦门一中高三3月模拟题）如图22222经过化简得到：()2axkxy−++kby−=0，20000x22

4、21，已知椭圆Cy:1+=，称圆心在yby−3P该方程两根即为k，k，故kk⋅=0（*）121222ax−0原点O、半径为2的圆是椭圆C的“伴Ox一般情况下的核心关键式．随圆”．若点P是椭圆C“伴随圆”上一22222222∵x+yab=+，∴x−=−aby，动点，过点P作直线l，l，使得l，l图100001212代入（*）式可得kk⋅=−1，即l，l相垂直．与椭圆C都只有一个公共点，当l，l斜率都存在（记121212评注从特殊到一般改造核心关键式，从而把握为k，k）时，求证：ll⊥(即kk⋅=−1)．121212问题条件与结论间的内在关联和参数变化过程中的简析先设Pxy(

5、)，，以及过P的椭圆切线方程00不变规律．ykxxy=−+()，联立椭圆方程后，由判别式等于0，00探究2巧置换，突出逆向思维建立切线斜率k满足的二次方程，最后根据韦达定理逆向思维，即是从问题的结论入手倒推应满足21−y0容易得到：kk12⋅=2=−1．——本题（特殊）情的条件．显然，上述命题的逆命题也成立，即：3−x0结论2P是平面内的动点，过P点引椭圆况下的核心关键式，于是证得结论．22xy探究1探规律，突出一般化思维Ca:122+=>>(b0)的两条切线l1，l2，若l1，l2互ab本题可视作一个新定义的问题．所谓椭圆的伴相垂直，则点P的轨迹是一个圆，其方程为随圆意

6、指与给定椭圆相关的圆．这样的伴随圆一般2222x+yab=+．具有某种特质，其方程随着椭圆方程的确定而确定．22福建中学数学2014年第12期证明参照结论1的证明过程，是自然产生新的探究思路——1）当点P坐标不为()±±ab，时，切线l，l斜探究4换背景，突出类比思维1222率都存在，将条件kk12⋅=−1代入（*）式，得到xy2一方面，将结论3中椭圆C:1+=的a与22by22−ab0222222=−1，故x00+=+yabxa()0≠±；b2视作相等，直接得到有关圆的结论：ax−02222）当点P为()±±ab，时，经验证ll⊥仍然成立．结论4.1若点P是圆Oxya:

7、+=的伴随曲线12222综上所述，点P的轨迹方程为x2222+=+yab．Mmxy:(+=+mam1)(∈R)上一动点（P在圆O外），过点P作直线l，l，使得l，l与圆O都相切，评注通过“反其道而思之”，将原问题由定值1212则当l，l斜率都存在（记为k，k）时，有kk⋅=−m探索视角转换为轨迹探求视角，使问题的面貌焕然121212一新．（定值）．探究3寻恒量，突出定值思维特别地，当m=1时有——222定值问题是解析几何探索研究的重点和热点之结论4.2若点P是圆Oxya:+=的伴随曲线222一．在结论1的基础上，将动点P所处的