一个有用的“立体几何中的基本图形”.pdf

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1、《解题研究⋯。-J。l。量，IJ。_J。J．．摘要：解题教学是高考复习的一个重要部分，改一改变观念，观察、探究问题、变观点看待问题，变式探究问题，把结论学以致用，在图1的条件中，除含有关系COS0=COS01cos02解决高考问题，注重学生的“双基”，培养学生数学素外，若改变观念看成是由四个面围成的几何体，那么养，可以把课堂教活，教深，使学生举一反三，揭开过顶点A有三个面，还能改变观点挖掘出求解二面角高考数学题的神秘面纱．的一个简便公式，快速求解二面角的大小．关键词：立体几何；基本图形；应用结论在图

2、1中过点A有三个两两相交的平面，即平面OAB、平面BAC、平面OAC，不妨记作三面角A—OBC，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．”这是宋代其中的三个面角分别为0。、02、0，且平面OAB上平面诗人苏轼的诗句，意思是指同一个事物从不同的角度ABC，记作两垂面，平面OAC与两垂面不垂直，记作和不同的时间看是不一样的．其思想也可以用于指导斜面，那么斜面与其中一个垂面所成二面角的大小与研究数学问题，在思维过程中善于改变看问题的角度、三个面角0、02、0是否有关系呢?答案是肯定的．经观念，往往会收到意想不到

3、的效果．因此我们在研究探究发现，有简洁漂亮的结论，对于解决问题十分有探索数学问题时，特别是在高考数学复习中，要注意效，直观形象，记忆方便．变换思考的方式，尽可能地选择新视角、新方法、新事实上，在图1中，由于OB上面ABC，BC上AC，观念解决问题．本文以立体几何中的一个基本图形为由三垂线定理可知OCB为二面角D．AC的平面例进行探究说明，并应用其探究结论解决2013年高考角，记为1．令OA=1，则在Rt△OAB中，有OB=题，以作引玉之砖，供同行在高考复习时参考．OA·sin01=sin01；在Rt

4、AOAC中，OC=OA·sin0=问题的提出：如图1所示，这里0，是平面的斜线sin0；在RtAOBC中，sin-==兽．故所求OA与0【所成的角，AB是OA在Ol内的射影，OB垂直Ol于二面角O-AC—B的大小为-=aFOSin()．点，AC是OL内的任一直同理，过点c作AB的垂线，过点c作OA的垂线，AB和AC所成的角为，图1线，并令C=l，可求得二面角c一一B的大小的A0与Ac所成的角为0，且BC上AC，垂足为C．图1正弦值为sinz=等S1n，进而得z=arcsin(＼SII1口)／．中有关

5、系：COS0=COS0】COS．以上分析证明给我们一个启示：在求有两个面互结论的证明方法有多种，可用向量法，也可转化相垂直的三面角中，斜面与垂面所成二面角的大小时，为直角三角形中的边角关系进行证明，这里略．下面其正弦值为另一垂面面角的正弦值与斜面面角正弦值以此为载体阐述改变观念，观察、探究问题．收稿日期：2014—02—19作者简介：郭兴甫(1970一)，男，云南会泽人，中学高级教师，主要从事数学教育与中学数学解题研究．2年期型圈解题研究》。{。l．j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的比

6、值．这种方法解决二面角的大小问题十分巧妙，例2(2013年高考辽解决高考问题非常有效．类似于在直角三角形中已知宁卷·理18)如图4，AB是斜边和一直角边，求锐角的问题．圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．二、结论在高考解题中的应用举例(1)求证：平面Cj_例1(2013年新课程全国A平面PBC；AⅡ卷·理18)如图2，直三棱柱(2)若AB=2，AC：1，LAc—A1曰。C。中，D、E分别是PA：1，求二面角C一船．A图4AB、BB的中点，AA=AC=的余弦值．佃=A解：(1)略．(2)解法

7、1：在三面角P-ABC中，(1)证明：BC1∥平面ACD；由(1)知，平面C上平面PBC，(2)求二面角D-Ac—E的所以平面PAB为斜面．正弦值．C记LAPBC=0，LAPC=01，解：(1)略．“所以sin0t=丁X／2-，sin0==丁2V3-(2)如图3，连接DE，因．为AC=BC，D是AB的中点，设二面角c一咫．A的大小为，易知为锐角，所以DCLAB．则由本文探究公式可得又在直三棱柱ABC．AlC中，AA1j-面ABC，sin==孚×丁V3-=Tx／-f6，所以DC_LA1D．图3曰所以c

8、os=、／『二=．在三面角C-A1DE中，记A。：1，贝0A。D=下x／-gDE=下V3-，，故二面角C-PB-A的余弦值为_=AE=睾，A．所以A1Ez=A1D。+D酽，即LEDA1=90。．解法2：在三面角B-APC中，平面PABj-平面所以平面AlDG上平面EDC．ABC，平面PBC为斜面，为方便，记A1CE=0，LECD=0l，为方便，记LABC=01，LPBC=0，由最／J、角定躲os0l=cosLECB．c0s45。=TvT6，所=30。，sin0：嚣=丁