一个基本图形的应用

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1、一个基本图形的应用在几何教学中，常常对一些几何图形进行分析后再解答，有时需要对复杂图形进行分解成学过的定理的基本图形，在八年级教学中，我们遇到了这样一个基本图形，在数学题目中，只要识别出这个基本图形，再利用这个基本图形的结论，可以使问题变得简单。　　基本图形及其结论：　　如图所示，有∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C。下面先证明这个基本图形的结论。　　证明：延长BD，交AC于点E，　　∵∠BDC是△DCE的一个外角，　　∴∠BDC=∠C+∠DEC，　　∵∠DEC是△ABE的一个外角，　　∴∠DEC=∠A+∠B，　　∴∠BDC=∠A+∠B+∠C。　　例1.如图，在△ABC中

2、，E是BD上的一点，∠A=62°，∠ABD=30°，∠DCE=48°，则∠BEC的度数为（）。　　A.140°B.120°C.100°D.80°　　解析：找出“基本图形ABEC”，得：　　∠BEC=∠A+∠ABD+∠DCE　　=62°+30°+48°=140°，　　故选A。　　　　　　　　　　　　　　例2.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定零件不合格。说明理由。　　　　　　　　　　　　　　　　解析：根据基本图形的结论，得　　∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°，　　所以工人量得

3、∠BDC=148≠143°，　　因此，零件不合格。　　例3.如图，∠B=60°，∠C=20°，∠1=3∠A，　　则∠A=（）度。　　解析：根据基本图形的结论，得：　　∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C，　　所以，3∠A=∠A+60°+20°，　　所以，∠A=40°。　　例4.已知：△ABC的∠B和∠C的角平分线交于点D，∠A=40°，求∠1的度数。　　解析：找出“基本图形ABDC”，得∠1=∠A+∠ABD+∠ACD。　　∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，　　∴∠ABD=∠ABC，∠ACD=∠ACB，　　∴∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）　　=（180°-∠A

4、）　　=×140　　=70°　　∴∠1=40°+70°=110°。　　例5.图中甲、乙、丙三个图形是五角星和它的变形。　　　　　　　　　　　　　　图甲图乙图丙　　（1）图甲，是一个五角星，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。　　（2）图乙，是图甲的点A向下移到BE上时，五角星的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论。　　（3）图丙，是图乙中的点C向上移到BD上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论。　　解析：（1）找出“基本图形ACMD”，得：　　∠CMD=∠A+∠C+∠D，　　在△BME中，∠BME+∠B

5、+∠E=180°，　　∵∠BME=∠CMD，　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。　　（2）找出“基本图形ACMD”，得：　　∠CMD=∠CAD+∠C+∠D，　　在△BME中，∠BME+∠B+∠E=180°，　　∵∠BME=∠CMD，　　∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。　　（3）找出“基本图形BDME”，得：　　∠EMD=∠D+∠B+∠E，　　在△AMC中，∠ACE+∠CAD+∠AMC=180°。　　∵∠AMC=∠EMD，　　∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=180°。　　通过以上例子的分析与解答，可以充分认识到在我们的教学实践中，只要多多观察、处处留

6、心，总会发现一些规律性的知识，使一些看起来复杂的数学问题变得简单，更有利于学生掌握。