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《一个基本图形探究及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、—个基本图形探究及应用摘要：数学题目题海茫茫，如果能发现问题的变化规律,抓住基本图形，对其认真分析研究、拓展变化、延伸，学生的思维的广度与深度一定会有质的飞跃，从而告别“题海”的束缚，促进自身创新思维的发展.关键词：基本图形应用发散思维每一类数学问题都能找到它的基本图形，如果能对基本图形进行探究与开发、引申与挖掘，发现其规律，总结其方法，揭示其有价值的结论•这样做不仅能产生触类旁通、举一反三的效果，而且能开阔学生的思路，培养学生的发散思维.一、原题呈现，源远流长原型题：如图1，点B、C、D在一条直线m上，且A
2、B±m,DE丄m,AC丄CE,垂足分别为B、D、C,且AC=CE,证明：（1）^ABC^^CDE.(2)BD=AB+DE・【评析】这是全等三角形中比较经典的一道习题，很多关于全等的几何习题中都能发现这个图形的“影子”,我们把满足,ABC=zCDE=zACE=90。,AC=CE,J这一条件的两个全等三角形,即％ABC咚2DE”称之为基本图形，还可以改变条件，把原图进行变化和拓展.在上题中，如果将直线m绕点C旋转一定的角度，当直线m与AE有一个交点时，问题的结论、推导方法会有何变化呢？变化题：如图2,zACE=9
3、0。,且AC=CE,直线m经过点CAB丄mRD丄m，证明(1>ABC^^CDE(2)BD=DE-AB.【评析】此题通过直线的旋转，变更了基本图形，但是解决本题的思路与方法没有任何变化，结论aABC^^CDE也没有变，只不过线段BD、AB与DE的关系发生了改变，BD变为了DE与AB的差，我们把这个变化图称之为变式图形,变式图形的应用比起基本图形的应用毫不逊色.二、直接应用在苏科版《义务教育课程标准实验教科书•数学》七年级下册P129，第15题就有这样的习题，原题呈现如下：例1•如图3,zACB=90
4、。,AC=BC,BE丄CE,AD丄CE,垂足分别为E,D.图中哪条线段与AD相等？并说明理由.【评析】此题与图2如出一辙，直接运用变式图形，说明MCD与2BE全等，就能得到AD=CE・例2.(2007.江苏省淮安市)如图4,在矩形ABCD中，AE平分nDAB交DC于点E,连接BE,过E作EF±BE交AD于F.(1)请说明:zDEF二nCBE;(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母),并说明理由.解:(1)略(2)由条件容易得到zDEF二zCBE,DE二CB，且nD=nC,..△DEF變^CBE
5、,/.EB=FE.【评析】该题将基本图形置于矩形背景中，既使学生感到熟悉，又灵活地考查了学生运用基本图形的能力，问题中的两个三角形^CBE与2EF,它们满足条件，可以直接运用于基本图形，得到aCBE^aDEF，问题即可解决.二、在面积中的巧用古往今来勾股定理的证明吸引了无数的科学家和数学爱好者，但是最有趣的而且最通俗易懂的证明方法却是美国总统加菲尔得想出来的。他用的图形就是利用基本图形，条件与原型题的条件完全一样，把证明方法介绍如下：例3•如图5,点C、B、D在一条直线上，且nC=zD=90。,AB±BE,垂
6、足为E,且AB=BE,利用本图能证明勾股定理吗？【简证】如图5,设AC=b,BC=a,AB=c,由于△ABC咚BDE,得BD=b,DE=a,vS=(a+b)(a+b)=(a+b)S二S+S+S二ab+ab+c/.(a+b)=ab+ab+c即a+b=c【评析】在感叹这种方法的巧夺天工之余，不得不佩服这位总统能独具匠心地构造出两个全等三角形，分别从整体和局部求梯形的面积，得到等式，化简可得勾股定理.例4.（2005年浙江省温州市）在直线I上依次摆放着七个正方形（如图6所示）•已知斜放置的三个正方形的面积分别是仁2
7、、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S,则S+S+S+S=解：由图形容易得到MBCMBED,.DE=BC,根据勾股定理，AC+BC=AB,即S+S=1,同理S+S=3・则S+S+S+S=1+3=4.【评析】本题要从复杂的图形中抽象出基本图形，运用了全等三角形的判定，以及性质、勾股定理•实际上，很多习题就是由基本图形进行变化、重组、引申的，如果我们能透过现象看清本质，提炼出基本图形，那么问题将会大大简化.三、综合应用在一些复杂的问题中，通常将该基本图形与变式图形融为一体，体现了较强的综合性•这类问
8、题难度较大，学生若能从所给的图形中找出基本图形或变式图形，再结合全等三角形和相似三角形的性质、判定，问题便可解决.例5.(2009年湖北十堰市)如图7,四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE±AG于点E,BF±AG于点F.(1)求证：DE-BF=EF.(2)当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图8中画出
