一个基本图形的演变及应用11.doc

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1、从圆幂定理能否作为课题学习的内容说开去——一个相似基本图形在圆中的演变及应用湖北省襄樊市第七中学（441021）曾庆丰湖南邵阳的张老师在文[1]提到“圆幂定理能否作为课题学习的内容？”，该问题提得很好，具有一定代表性，问到了我们许多教师的心坎上．我想，这还不仅仅是一个课题学习的问题，而是该不该作为学生必须了解乃至掌握的内容在教学中渗透或补充的问题．因为圆幂定理的应用确实太广泛了！许多以圆为载体的中考几何综合题，若利用圆幂定理去分析、解决，则过程、方法更为便捷．然而，不仅《课程标准》对圆幂定理已不做要求，而且在中考中很多地市已

2、明确规定不准直接使用圆幂定理，真可谓“进退两难”！如何解决这个问题？我们得首先清楚圆幂定理的由来——是由两个三角形相似对应边成比例，得到的等积式．既然如此，那么圆幂定理需不需要学生掌握的问题，实际上就是需不需要学生掌握圆中几对常见的相似三角形问题（因为给等积式取个什么名字并不重要）．相似三角形作为整个初中阶段的一个核心知识，与圆的交汇性很强．要提高学生辨别圆中的相似三角形的能力，就有必要让学生了解乃至掌握圆中的一些常见的、基本的相似三角形，而圆幂定理应用的广泛性就体现在几对相似三角形上．所以，笔者以为，圆幂定理可以不提，但圆

3、幂定理对应的几对相似三角形是需要学生了解和掌握的．基于以上分析，笔者在教学中，根据圆幂定理对应的相似三角形的特点，从相似三角形判定引理所对应的图形（“A”字型）出发，通过对图形旋转、翻转和改变图形所处的环境（但不改变结论），让学生在体验图形演变的过程中，理解圆中几对相似三角形的来龙去脉，并把相似三角形作为圆中的基本图形去理解、掌握和应用，进而渗透圆幂定理，取得了很好的教学效果．不仅很好地解决了上述问题，而且还丰富了圆幂定理（增添了比例式和对应边）．现予以介绍并结合2008年部分中考试题加以说明，供参考．图11基本图形如图1，

4、在△ABC中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，所以有①；②．图2例1（2008山东临沂）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心作圆，分别与边AC、BC相切于点D、E．求⊙O的半径．简析连结OD、OE，则四边形OECD为正方形，所以OD∥BC，由①，得．若设⊙O的半径为，则．解得．2演变一：旋转如图3-1～3-2，△ADE绕点A旋转1800．如图3-2，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，所以有①；②．图3-1图3-2例2（2008武汉）如图4，AB是⊙O的直径，图4AC是弦，

5、∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，求的值．解析（1）连结BC、OD，两线交于点G．因为OD=OA，所以∠DAO=∠ADO，而DAO=∠CAD，所以∠ADO=∠CAD，所以AE∥OD．又因为DE⊥AC，所以OD⊥DE，所以DE是⊙O的切线；（2）因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=900．由（1），易证四边形ECGD是矩形．若设，则，，所以．因为AE∥OD，由①，得=．3演变二：翻转并改变图形的背景3.1如图5-1～5-3，将△ADE（

6、）翻转，并过点B、C、D、E作圆．（由∠ADE=∠B，易证E、B、C、D四点共圆）图5-3图5-2图5-1如图5-3，过点A的两条割线分别与圆交于E、B、C、D四点，则△ADE∽△ABC，所以有①；②（切割线定理的推论）．图6例3（2008苏州）如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P、K两点，作MT⊥BC于T．（1）求证：AK＝MT；（2）求证：AD⊥BC；（3）当AK＝BD时，求证：．简析（1）由角的平分线的性质

7、，得MT=MA，而AK=AM，故AK=MT；（2）由已知，易得∠1=∠2，∠3=∠4．而AM=AN，所以∠1=∠3，故∠4=∠2，所以AD∥MT，而MT⊥BC，所以AD⊥BC；（3）因为BK、BM是⊙A的两条割线，所以由①，得，即．因为AK＝BD，AK＝MT，所以BD＝MT．易证△ADB≌△CTM，所以AB=CM，所BK=AC．故．图7例4（2008陕西）如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）

8、求△ACD外接圆的半径．简析（1）由题意，易证Rt△ACD≌Rt△AED，所以AC=AE．（2）因为，而AE=AC=5,所以BE=8．若设，则．因为BA、BC是圆的两条割线，所以由②，得，即．解得．所以，所以ACD外接圆的半径．3.2如图8-1～8-3，将△ADE()翻转，并过A、C、E三