一个图形的演变与推广

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1、第6期吴锋刃：一个图形的演变与推广·23·学习环境，营造平等、和谐的课堂气氛，与学生建立数学学习方式多种多样，主要有主体学习、研民主、平等的师生关系，把课堂成为师生互动的究性学习、开放性学习、个性化学习，还有经验性学“情感场”．著名教育家第斯多顿曾经这样说“教育习、合作性学习等等．它根植于课堂，得益于教师精的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓心培育，成熟于学生的不断实践，对提高数学课堂舞”．因此在课堂教学上，教师要更多地唤醒学生教学的有效性有着不可低估的作用．作为教师，应的智慧，激励学生的斗志，鼓励学生尝试探索，最大在课堂教学的主阵地上致力于

2、培养学生掌握适合限度地让学生在活动中学习，在主动中发展，在合自己的数学学习方式，促进自身课堂的有效学习．作中增加，在探究中创新，逐渐步人“教”与“学”互促互动、相得益彰的良性循环轨道．如果师生关系参考文献不融洽，甚至出现敌对的情绪，那么即使教学过程设计得再好，学生也很难参与进来，一切都是徒劳[1]吴庆麟．教育心理学——献给教师的书的．[M]．上海：华东师范大学出版社，2003．一个图形的演变与推广●吴锋刃(杭州外国语学校浙江杭州310024)几何图形变幻莫测，一个个精美的结论更是赏由点0，G，P，E共圆，得心悦目，几何思维独特且具有丰富内涵，分析综

3、合EPM：／OGM=OEM=cPM．法、定性推导和定量计算使我们感受证法的曲折离由点0，M，E，F共圆，得奇；一题多解，各种证法层出不穷、千姿百态；类比EMP：OFE=OEF=厶0MF．联想、加深推广，让人体会到硕果累累，美不胜收．结论3MP与圆的交点H是△朋G的内心．本文将从欣赏数学的视角，从一个学生熟悉的图形结论4圆上任意一点满足EM：EP=开始人手，探讨一些几何题之间的纵横联系，由表AM：AP(Apolloniuscircle)．及里加深认识、推广，以期能锻炼大家的几何思维、由结论3可得EH平分，从而感受几何的独特魅力．EM面EP：HP：定值

4、(、≠。1)’，1图形的基点梳理如图1，PA，PB切圆于点A，B，OP交AB于点故动点在M，P确定的Apolloniuscircle上面．M，PEF为割线，延长EM交圆于点G，很容易获得2图形的纵向思考以下熟悉的结论：思考1如图2，过圆外一点P向圆作2条切线，切点为A，B，过点P作割线PEF，交AB于点K，求证：=+．(2002年全国初中数学联赛试题)分析由结论2可知，MK平分FME．又OP_LAB，可得MP为FME的外角平分线，从而FKMFFP图1图2—KE而丽，结论10，G，P，E四点共圆，0，M，E，F四点一一2】】—j—E一—PK—PEPF

5、’共圆．由OM·MP=AM=ME·MG和PE·PF=亦称点P，K调和分割线段EPA=PM·PO可得．这里称P=为船，PF的调和平均结论2PM平分／_EPG，MA平分EMF．一PE+·24·中学教研(数学)2O10年值，在图2中为朋，PF的几何平均值．若，、，为(第37届IMO试题改编)EF的中点，则尸Ⅳ为PE，PF的算术平均值．由分析AP，BD，CE相交于一点，由角平分线性PN>IPA≥P亦可得到一个关于几何平均、算术平质可知器=AB，点，P可看作点B，C确定的均和调和平均的不等式，即若a，b∈R，则Apolloniuscircle上的2个动点，于

6、是自然联想到图≥≥，6．要证／_APB一／_ACB=／APC一／ABC，只需证+LPAB+LPCB：LPAC+／_PBC．当且仅当a=b时等号成立．即LPBC—LPCB=／_PAB—LPAC．思考2如图3，过圆外一点P向圆作2条切而由结论1和结论2，可知P=OPB，即线，切点为A，，过点P作割线朋，，P&9，FC和PC一PCB=POB=2PAK．ED交AB于点，过PM作割线PST，求证：由结论4可知AK平分／BAC，从而2l1／_PAB一PAC：2尸AK．P—MP—S+‘故结论成立．(1997年中国数学竞赛试题)思考4如图7，E，F，C，日是圆0上

7、的4个点，FE，HG交于点P，FH，EG交于点Q，过点P作圆0的2条切线，切点为R，S，则点Q，S，M，R共线．分析显然由思考2知，点．s，M，R共线，点Q，S，M，R共线是加深的一个结论．下面说明点Q亦在上，设MQ交于点，，交HG于点，问图3图4题可转化为说明点和点在SR上，由思考1可分析此题结论和思考1中的结论非常相似，知只需证明点尸，调和分割线段朋，即=篙．以此为思考基点，只需证明点在AB上即可．只而由塞瓦定理和梅氏定理可得需证，肋，Fc三线共点丽DB··一1．由FKQH一1．．一1一KE．G0．HF—l’PEGoHF一一’切割线定理’⋯BD

8、Bc=，=，=，显然因此P，K调和分割线段EF(注意这一结论的证明与圆0无关．对于一般四边形，只要FE，HG交于上式成立．