立体几何中的基本图形

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1、难点解析立足基本图形，突出常规常法陈贤清安庆一中246004分析三年来高考中的立体几何解答题，可以发现大多数试题有如下三个明显的规律：一是都属于中档题、常规题，突出通性通法的考查；二是基本都采用了“一题两法”的命制方法，即同一个试题可以有传统的和空间向量的两种方法来解决；三是在大多数试题背后都可以看到一个“基本图形”的影子．发现这些对我们的立体几何复习很有帮助．立体几何中线与线、线与面、面与面的平行与垂直的判定和应用，以及空间角和距离的计算是必考的主干知识，我们可以通过重点分析“基本图形”中的这些位置关系和数量关系，加强对基本图形的识别和应用，突出基本方法的训练，做好立体几何的

2、复习．ＰＡＢＣ一、一个基本图形基本图形是指形如右图的三棱锥P-ABC．在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC,AB⊥BC．则在此三棱锥中,有:面PAB⊥面ABC;面PAC⊥面ABC;面PAB⊥面PBC;有PA⊥AB,PA⊥BC,PA⊥AC,BC⊥PB,如果再作AD⊥PC于D,AE⊥PB于E,将得到更多的垂直.有时条件是PA、AB、AC三线两两垂直，那就更好办了．由于有众多的垂直关系,一方面我们可以很清楚地看到所涉及的点在面上的射影，就可以很容易地作出直线与平面所成的角及二面角，为我们用几何方法求解空间角提供了方便．另一方面，根据众多的垂直关系，我们也可以很方便地建立空间直角坐标系

3、，从而为用向量法求解奠定了基础．下面我们通过对几道高考题的分析,来说明如何识别和应用这个基本图．二、三种应用模式1、直接识别与应用模式例1:(2005重庆高考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.分析：本题中AB⊥侧面BB1C1C，EA⊥EB1，因此有EB⊥EB1，所以A－BEB1就是我们所讲的基本图．根据垂直关系，我们知道：(1)BE就是异面直线AB与EB1的公垂线;(2)

4、EA⊥EB1，A1B1⊥EB1，所以AE与A1B1所成的角就是二面角A—EB1—A1的平面角,剩下来的就是根据条件进行计算．另外,由AB⊥侧面BB1C1C，我们以B为原点,BB1、BA分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系也很容易写出各相关点的坐标．解法一：（Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE.又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线，在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·在△BEB1中，由面积关系得.（负根舍去）解之得CE=2，故

5、此时E与C1重合，由题意舍去.因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在面A1B1E内，又已知AE⊥EB1故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角.因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故解法二：（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，在三棱柱ABC—A1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），设又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE.因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距

6、离为1.（II）由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量的夹角.例2：（2005全国高考）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小分析：本题中的P-ABD、P-ACD就是我们所讲的基本图，建立空间直角坐标系，问题立即转化为坐标运算．略解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（

7、1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（Ⅰ）证明：因又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因由此得AC与PB所成的角为（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角.Ａ1、添加辅助线得到基本图例３：（2006安徽19）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小分析