函数的迭代与一类竞赛题的解法.pdf

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1、函数的迭代与一类竞赛题的解法■华书春竞赛题由于其问题背景相对复杂，方法人口窄，对学生思注：分式线性函数g(z)的系数可由g(z)的二阶系数矩维能力要求很高，但其对培养学生的问题解决能力和探究能阵A的i次方求得，亦可用函数的迭代直接计算．用函数的迭力是一般数学题目难以比拟的，本文联系函数的迭代给出了代直接计算较繁，本文不作介绍，以下例题均用g(z)的二阶一类竞赛题的解法．为此，我们引入以下概念：系数矩阵来求．对于分式线性函数厂(z)一—ax~-b(口≠)，其系数对应例设_厂(z)是对除z—O及z一1以外一切实数有意义．。。，仃^，、的实一值函数，并

2、且厂()+厂f＼z1／—1+，求_厂()．(第32一个二阶矩阵A一()，一般地，迭代式f(z一届美国普特南数学竞赛题)‘z)．．’))的系数与A对应(本文默认f。(z)一z，解：设g(z)一—x-—1，其系数矩阵A—f1，Az—n^＼iU，-厂1(z)一／(z))·特别的A”一()。≠O'∈N+)，满足(二)，g(z)一；_厂(z)一，(_厂(⋯f(x)⋯))一z，即函数f(z)经过次迭代‘。。。‘、，‘‘‘一A。一(一；)cz一一所以回到自变量本身．又因为n一1，b一1，所以根据定理得f(z)一定理形如af()+bf(g(z))一h(z)的一个

3、方程中，+z一(+x-1(1+-1)≠一1且为偶数时≠1．分式线性函数g()一0oC1_口年(n≠bc)，其对应的二阶矩阵A有A一(：)(≠。，∈利用玖疋埋1IJ口J以骊与出一系岁U玖灭双罕苋赘趔，如设，(z)是对除z一0一1、z一一1以外一切实数有意义李N+)，在f(g(z))，h(g(z))(1≤i，J≤，且i，∈N+)有意生的实值函数，并且2f(-z)+，(X-1)一z，求厂()．∑(——1)h(g一1(-z))口⋯b数义的情况下有，(z)：三L—一·解：设g(z)一x-1

4、鎏

5、z1_J，其系数矩阵A一(、I_I1／，丫七证明：迭代式g(-

6、z)与A对应，代入方程有：af(x)+bf(g1(z))一h(z)；A一(02)，z一了-1；af(gl(z))+bf(g2())一h(g1(z))；李(一)c；甥版n_厂(毒1(z))+bf(g())一h(g1(z))．联立得齐次线性方程组，其中级行列式d—(一c一nb0···OOO所以一4，又因为口一2，b一1，根据定理得f(-z)0nb···OOO：：：：：：：●●●●●●●-z一(x-1)·24+(一i1)·243(IX丁-1)000···0口b2十(一1)”·1b0O⋯O0口一生(≠o，1，1)．15x(z一1)(-z+1)⋯⋯’⋯7l

7、级行列式d11^(z)6O⋯OOOI编题时只要命题人所构造的分式线性函数g(z)一Ih(g1(z))口b⋯00ojax-t-b(cz—r口ad≠bc)的系数矩阵A满足A一(、()：t)，(≠。，，z∈—Ii!ii；iIlh(g一2(z))00⋯0口6lN+)即可．、l1h(g—l(z))00⋯o0a1I事实上，进一步我们还可以得到推论形如af()+bf(g(z))一h()的一个方程中，—h(z)n一h(g1())an-2b+h(g2())nn-3b+⋯+(一1)一h(g一1(z))b一∑(一1)h(gl(z))·导D≠一l且为偶数时0≠1．如果g

8、(z)一z且，(g(z))，n一b一．h(g，(z))(1≤i，J≤，且i，．∈N+)有意义，则有厂(Iz)一因为≠一1且为偶数时≠1，所以d—n“+∑(一1)h(g一1(z))口⋯b一三L—_干-·(定理证明略)(一1)b≠0，所以根据克兰姆法则得f(-z)一利用高观点解读高中数学竞赛题，对题目的理解会更为∑(一1)h(g卜l())8⋯b一“1￡一1深刻，一些解题思路、技巧和编题方法也会更为明显．dn4-(一1)b。作者单位：江苏省扬州市邗江区蒋王中学