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1、第三章量子力学中的力学量算符的性质动量算符和角动量算符。厄密算符的本征值和本征函数算符与力学量的关系5.任意观测量的测不准关系14.1算符的性质什么是算符？算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。称为一个算符表示为2线性算符典型的非线性算符为位置算符和动量算符均为线性算符。3哈密顿算符：角动量算符：坐标和动量算符4厄密算符两个波函数和，满足下列等式称为算符的本征值，称为本征函数，方程称为算符的本征值方程。若一个算符作用于一个函数的算符称为厄密算符5在量子力学中，为了使所描述的力
2、学量具有意义，我们要求它们的平均值为实数，即量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。厄密算符的本征值为实数若则所以如果为厄密算符6动量算符的厄密性证明动量算符的厄密性因为和是有限的7算符运算初步1)算符之和：2)算符之积：一般情况下，算符之积不满足交换律83)算符的对易性是体系的任意波函数，所以例如果记为9对易式满足下列恒等式104.2动量和角动量算符1)动量算符动量算符分量形式动量算符各分量与坐标算符各分量之间的对易关系动量平方算符11三个分量形式：动量算符的本征函数动量算符的本征值方程P
3、是动量算符的本征值，p（r）是动量算符的本征函数。122)动量算符本征函数的“归一化”一维粒子的动量本征值为px的本征函数px可以取-~+中连续变化的一切实数，为了确定C，考虑积分因为（a）本征值是连续的13如果取三维情况，14（b）本征值是分立的考虑粒子限制在一维[-L/2,L/2]中运动，动量的本征态为根据边界条件所以15或可以看出，动量取值是不连续的，相应的归一化本征函数为三维情况163)角动量算符角动量算符的定义式其分量形式角动量平方算符17角动量算符的各分量之间是不对易的18同理1
4、9同理角动量平方算符与其各分量之间是对易的204）球坐标系中的角动量21例：求算符的本征值和本征函数本征方程表示为：C由周期性边界条件确定。＋2，体系回到原来位置,要求lz=m,m=0,±1,±2,…22算符Lz的归一化本征函数表示为lz=m为算符lz的本征值，相应的本征函数表示为相应的本征值为m235）角动量算符的本征函数和本征值Y(,)是角动量平方算符的本征函数,ħ2是L2的本征值由于算符L2与径向r无关，其本征值方程只与角度相关，写为令24Y(,)在变化的整个区域内
5、（0）必须有限，必须有λ=l(l+1),l=0,1,2,…（连带勒让德微分方程）（m=0,勒让德微分方程）25是缔合勒让德（Legendre）多项式，Nlm是归一化常数26这样,(L2,lz)的正交归一的共同本征态表为Ylm称为球谐函数,它们满足l表征了角动量的大小，称为角量子数，m称为磁量子数，对应一个l值，m可以取2l+1个值。简并：一个本征值对应一个以上本征函数的情况简并度：对应于同一本征值的本征函数的数目正交归一27在Ylm态中，体系角动量在z方向上的投影为m前面几个球函数283.5
6、厄密算符本征函数的性质如果两个函数1和2满足1和2正交属于不同本征值的厄密算符本征函数正交29两式相减得对整个体积空间进行积分由于是厄密算符,左边积分在整个空间的积分相等30因为lnlm从而证明了两波函数是正交的如果厄密算符的本征值是连续分布的，则31f重简并：对一个本征值ln,若同时有f个本征函数与之对应属于同一个本征值ln的简并波函数ψnk,，有一般来说，ψnk不正交，但总可以找到正交函数。例题对下面两个氢原子的未归一化的1s和2s电子的波函数证明它们的正交性32说明两波函数是正交.
7、解根据正交性的定义，有334.4算符与力学量的关系（1）力学量算符的本征函数组成完全系如果算符F是厄密算符，它的正交归一化本征函数为n(x)，对应的本征值为n，则任意函数(x)可以按n(x)展开，n(x)组成完全系。由n(x)的正交归一化性，系数cn为34在量子力学中，表示力学量的算符为厄密算符，它们的本征函数组成完全系。如果(x)表示体系的状态波函数，则(x)可以按力学量算符F的全部本征函数展开。若(x)已归一化，则35的物理意义：表示在(x)态中测量力学量F得到的结果是算符
8、F的本征态n的几率，也被称为几率振幅。解：根据Ylm的正交归一化性，得到例：设体系处于求和的可能测值及相应的几率。36根据可能测值相应的几率和的可能测值为及相应的几率为：37则任意力学量F的平均值（2）力学量F的平均值（(x)已经归一化）38如果(x)没有归一化，则如果波函数ψ已知，我们可以计算位置、动量及其它物理量该态中的平均值。例题：氢原子基态1s电子波函数为求动能T（p2/2m）和势能V（-e2/r）的平均值39解：40总能量41解：首先将100按动量算符的本征值p
