力学量的算符表示

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1、第三章力学量的算符表示1．如果算符、满足条件，求证：，，[证]利用条件，以左乘之得则有最后得。再以左乘上式得，即则有最后得应用数学归纳法可以证明：先设成立，以左乘上式得则有最后得2．证明[证]应用及，则同理可证则3．若算符满足，求证：其中，[证]方法一：把直接展开，比较系数法。而…………因此，把展开式的的同次幂的系数合并之后，我们容易得到：方法二：定义算符其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出…………取，得将展开为麦克劳林级数按定义，，所以我们最后得到4．如果都是厄密算符，但，向：（1）是否厄密

2、算符？（2）是否厄密算符？[解]利用厄密算符具有的性质及（1）令则当时，，故不是厄密算符。（2）因，故因此是厄密算符。例如，和都是厄密算符，且，所以不是厄密算符，事实上显然不可能是厄密的。但是在中，把它改写为，显然左方是厄密算符。5．如果都是厄密算符，而算符，求证：。[证]。6．试证明力学量所对应的算符是，并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。[证]先证明一维情况，按定义而，，利用恒等式故由于：故同理故对于，可先设成立，然后写出的表示式，进行一次分部积分后，不难得出7．求：并由此推出、、

3、分别与的对易关系。[解]，，且以及之间均可对易。故同理同理可证，对于分别有，，及，，一般地，我们可以将上述各式合并写为：其中为循环指标，而8．求并由此推出分别与的对易关系。[解]同理可证：，，一般地，可以把上面的式子合并为9．一维谐振子处于基态，其中求[解]。利用第二章第3题的结果，我们知道是已归一化了的，故同理，注意到一维情况下，只须考虑，因此最后得讨论：①通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系一致。②的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第3题的结果，处于基

4、态的一维谐振子的动量几率分布函数为，它是的偶函数，，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动量空间）是一维谐振子的主要特征之一。③也可以从动量空间中求平均而得到。在以为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为，令代入上式可得在以为自变量的表示式中，考虑到算符，故薛定谔方程为同理可令，于是有显然的解只须在中以代替即得：而故和上面得出的结果一致。10．一维运动的粒子处在，求[解]由第二章第1题知归一化系数为在上面的计算中利用了积分公式最后得讨论：①，满足测不佳关系。②用及求得的结果也和上面

5、的结果一致。显然，在已知的情况下，把用算符代替，直接用坐标几率分布函数表计算或，比先由求动量几率分布函数，再由来或简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计算带来方便。③在第四章将看到，一个力学量，不管用作自变数，还是用或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。11．求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值；并证明：[解]（1）先证明两个普遍的关系：可以用两种方法来证明。（a）从角动

6、量算符所满足的对易关系出发：或由一式与二式乘i后相加减可得：或用算符对运算得：另外，注意到和均可对易，故有：所以从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本征值为，亦即，具有的形式。令它的共轭复式是二式相乘，对积分，再注意到的正交性，得：（b）用直接求微分的方法证明而；其中故同样，对也有其中可证明如下：因为勒襄德多项式满足方程对上式求微商次后得到或故有（2）现在来求和注意到的正交性，亦即令同理可知故（3）注意到的正交性，得：同理可证：故方法三：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，

7、把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到和的对称性，不难由在球坐标中的算符表示式看出而讨论：①为了证明，我们还可以用下面两种简并方法：（a）设为的本征态，则有而故同理，因为，可以证明（b）利用本章第12题的结论来证明令则显然都是厄密算符，的对易关系为：就是角动量分量之间所必须满足的对易关系利用12题的结论得出由于态是的本征态，在本片态中测量力学量有确定值，即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有要保证不等式成立，考虑到为非负的数，所以必须是。同理，只须利用，也

8、可以证明②在方法三中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明注意到即左乘得：利用右乘得：比较和可见，。再利用，按照方法三的讨论，很容易证明。12．若都是厄密算符，且，证明：[证]引入积分其中为实参数，显然这是关于的二次三项式，要它大于零，其判别式必须小于或等于零，即故B．若，且，证明，若为的本征函数，对应的本征值为，则也是的本征函数，对应的本征值为；也是的本征函数，对应的本征值为。[解]依题意则故是的本征函数，对应的本征值为，故也是的本征函数，对应的本征值为。14．证明狄拉克函数的下述